Matematické Fórum

Crashatorr · 15. 05. 2014 23:07

Zdravím, mohl by mi někdo prosím pomoci a tímto příkladem?

Do trojúhelníku, který má stranu a a příslušnou výšku v je vepsán obdélník maximálního obsahu. Určete tento obsah.

Problém je, že nedokážu určit obecné rozměry toho obdélníku a následně sestavit funkci u které bych určoval extrémy. Budu vděčný za každou radu:)

jelena · 15. 05. 2014 23:54

Zdravím,

tato úloha zde bude opakovaně, např. hodně podrobně je od kolegy Jj (podrobně nepotřebuješ, ale nákres a návod na podobnost bude určitě k užitku).

Arabela · 15. 05. 2014 23:58

Ahoj ↑ Crashatorr:,
ja by som šírku označila ako x a výšku ako y; predpokladala by som také umiestnenie, že šírka x je časťou základne a, no a využila by som podobnosť trojuholníkov. Platí: $\frac{a}{v}=\frac{x}{v-y}$ . To je vzťah medzi x a y.
Funkcia, ktorá má mať maximálnu hodnotu, je S=x.y. Dosadím za x rovnosť $x=\frac{a}{v}(v-y)$ a mám funkciu jednej premennej... Čo Ty na to?

Crashatorr · 15. 05. 2014 23:58

↑ jelena:
Určitě ano, děkuju :)

Crashatorr · 16. 05. 2014 00:09

↑ Arabela:
Díky, přes ty trojúhelníky by mě to nenapadlo
Přidám teda ještě své řešení, kdyby tohle někdo v budoucnu počítal, jestli můžeš poprosit o kontrolu:)

$f=\frac{ay(v-y)}{v}=ay-\frac{a}{v}y^{2}$
$f'=a-\frac{2a}{v}y$
$0=a-\frac{2a}{v}y$
$y=\frac{v}{2}$ $f''=-\frac{2a}{v}<0$
$x=\frac{a(v-\frac{v}{2})}{v}=\frac{a}{2}$
$S=xy=\frac{av}{4}$