Matematické Fórum

PanTau · 16. 05. 2014 19:04

Ahoj,

mohl by mi prosím někdo poradit co s tímto příkladem? Vůbec si nevím rady s tím ,,ve tvaru,, , děkuji.

kajzlik

Ahoj,

hledáš funkci, jejíž kvadrát odchylek od zadané funkce $f(x) = \sin(x)$ bude minimální ve smyslu nejmenších čtverců.
Ta funkce má být ve tvaru $\varphi(x) = c_0 +c_1x$ ,kde $c_0,c_1 \in \mathbb{R}.$
Musíš tedy minimalizovat reziduum funkce $R(c_0,c_1) = \int_0^{\frac {\pi}{2}}(f(x) - \varphi(x))^2 \mathrm{d}x.$
Uděláš to tak, že si tam dosadíš a hledáš minimum funkce $R=R(c_0,c_1).$
Zatím zkus napočítat tohle, pak doděláme zbytek.

PanTau · 16. 05. 2014 20:08

↑ kajzlik:
Děkuji,

Potom tedy:

$R(c_0,c_1) = \int_0^{\frac {\pi}{2}}(f(x) - \varphi(x))^2 \mathrm{d}x=\int_0^{\frac {\pi}{2}}(sin(x)-c_{0}-c_{1x})^{2}dx$

A dále nevím jak s tím minimem?

Přikládám příklad z naší školy:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

kajzlik

Hledáš minimum té funkce, tedy parciální derivace podle obou proměnných musí být nulové. To povede na soustavu dvou rovnic (tzv. normálních rovnic), ze kterých se dopočítají potřebné koeficienty.
Řešíš tedy soustavu rovnic
$\begin{cases} \frac{\partial R}{\partial c_0} =0 \\ \\ \frac{\partial R}{\partial c_1} =0\end{cases}$ .
Asi si moc nelam hlavu s tím integrálem tam, dá se využít věta o záměne derivace a integrace, takže s tou derivací můžes normálně dovnitř a integrovat se bude v druhém kroku.
Zkus pokračovat.

PanTau · 16. 05. 2014 20:34 — Editoval PanTau (16. 05. 2014 20:45)

↑ kajzlik:

1) $\frac{\partial R}{\partial c_1} = -2\int_{0}^{\frac{pi}{2}}(sin(x)-c_{0}-c_{1}x)xdx$
2) $\frac{\partial R}{\partial c_0} = -2\int_{0}^{\frac{pi}{2}}(sin(x)-c_{0}-c_{0}x)dx$
---------------------------------------------------------

1) $-2[sin(x)-x cos(x)-c_{0}\frac{1}{2}x^{2}-c_{1}\frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{(\frac{pi}{2})}$
2) $-2[-cos(x)-c_{0}x-c_{1}\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{(\frac{pi}{2})}$

Takhle..?

kajzlik

Máš tam trošku nepořádek ve značení, pokud ses upsal a rovnice (2) je derivace podle proměnné $c_0$ , tak je to správně. Všechny ty rovnice položeny nule, to je nutná podmínka minima, to ještě dopiš. Dál pak stačí vyčíslit ty funkce mezích integrace, dosazuješ samozřejmě za $x$ . To tě dovede na soustavu rovnic pro $c_0,c_1$ , vyřešíš a dostaneš příslušné koeficienty.

PanTau · 16. 05. 2014 20:52 — Editoval PanTau (16. 05. 2014 20:53)

↑ kajzlik:

Upsal, chyba opravena

1) $-c_{0}\frac{pi^{2}}{8}-c_{1}\frac{pi^{3}}{54}=-1$
2) $-c_{0}\frac{pi}{2}-c_{1}\frac{pi^{2}}{8}=0$
----------------------------------------------------------
$1.2337x1-0.5741x2 = -1$
$1.57079x1-1.2337x2 = 0$
Řešení:
$x1 = -1.9891164$
$x2 = -2.5326125$

kdy $x1=c_{0}$ a $x2=c_{1}$

+,- nějaká ta desetina, je to tak správně? Vypočítal jsem to přes kalkulátor, takže by tam něměla být chyba, děkuji!

kajzlik

V první rovnici by mělo u $c_1$ být 24 místo té 54,pokud dobře počítám a v druhé se ti někde vytratila jednička, pozor když dosazuješ dolní mez, protože $\cos (0) = 1$ . Dopočítávat se mi to nechce, v tom už ti kdyžtak pomůže např. wolfram.

PanTau · 16. 05. 2014 21:03

↑ kajzlik:

Děkuji za pomoc, asi překlep, nyní to je již jednoduché.

kajzlik

Není zač, hodně štěstí u zkoušky ;).

PanTau · 16. 05. 2014 21:40

↑ kajzlik:

Děkuji za přání, ještě bych rád poprosil o trošku odlišný příklad(má 3 parametry).
Zadání zní stejně, ale $f(x)=e^{x}$ na $<0;1>$ , kdy $\varphi (x)=c_{0}x^{2}+c_{1}x+c_{2}$

$R(c_{0},c_{1},c_{2})=\int_{0}^{1}(e^{x}-c_{0}x^{2}-c_{1}x-c_{2})^{2}dx$
--------------------------------------------------------------
A)

1) $\frac{\partial R}{\partial c_0} = -2\int_{0}^{1}(e^{x}-c_{0}x^{2}-c_{1}x-c_{2})x^{2}dx$

2) $\frac{\partial R}{\partial c_1} = -2\int_{0}^{1}(e^{x}-c_{0}x^{2}-c_{1}x-c_{2})xdx$

3) $\frac{\partial R}{\partial c_2} = -2\int_{0}^{1}(e^{x}-c_{0}x^{2}-c_{1}x-c_{2})dx$
--------------------------------------------------------------

Sestavil jsem to správně? Děkuji :-)

kajzlik · 16. 05. 2014 21:44

Jo jasně, je to v pohodě, zase položíš k nule a jedeš stejný postup. Tohle je pořad stejný, problém může pak nastat až při řešení těch soustav pokud ti tam vyjdou nehezký čísla.

PanTau · 16. 05. 2014 22:41

↑ kajzlik:

Dobře, ještě jednou děkuji.

PS: jdu teprve na zápich :-)

kajzlik

Není zač
A kdo na tebe byl tak zlej během semestru, že ti ho nedal ? xD

PanTau · 16. 05. 2014 22:53

↑ kajzlik:
Ten druhej jsem nějak ,,nezvládl,, věděl jsem jen jeden příklad a to ještě na půl. Z prvního testu jsem měl 12b. Nějak ty předměty z KMA nemusím. Byla to paní Ko... :-) dala těžké příklady! :P

kajzlik · 16. 05. 2014 22:55

Aha. xP
Tak to jsme dost možná spolu chodili na cvičení ;). Každopádně ten druhej test byla trošku podpásovka, to musím přiznat, ale i tak jsem to dal xD

PanTau · 16. 05. 2014 22:58

↑ kajzlik:

Poslal jsem SZ.

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2014 19:04

Sestrojení spojité L2 aproximace

#2 16. 05. 2014 19:36 — Editoval kajzlik (16. 05. 2014 19:53)

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#3 16. 05. 2014 20:08

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#4 16. 05. 2014 20:20 — Editoval kajzlik (16. 05. 2014 20:22)

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#5 16. 05. 2014 20:34 — Editoval PanTau (16. 05. 2014 20:45)

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#6 16. 05. 2014 20:42 — Editoval kajzlik (16. 05. 2014 20:45)

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#7 16. 05. 2014 20:52 — Editoval PanTau (16. 05. 2014 20:53)

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#8 16. 05. 2014 21:01 — Editoval kajzlik (16. 05. 2014 21:03)

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#9 16. 05. 2014 21:03

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#10 16. 05. 2014 21:05 — Editoval kajzlik (16. 05. 2014 21:08)

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#11 16. 05. 2014 21:40

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#12 16. 05. 2014 21:44

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#13 16. 05. 2014 22:41

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#14 16. 05. 2014 22:46 — Editoval kajzlik (16. 05. 2014 22:46)

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#15 16. 05. 2014 22:53

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#16 16. 05. 2014 22:55

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

#17 16. 05. 2014 22:58

Re: Sestrojení spojité L2 aproximace

Zápatí