Matematické Fórum

↑ Daniela_H: Kdyz posledni sloupec prictu k prvnimu, tak se determinant nezmeni (k-nasobek jednoho radku/sloupce mohu pricist k jinemu beze zmeny determinantu). Pak mam v celem prvnim sloupci goniometricke jednicky, tedy prvni i druhy sloupec jsou stejne, tedy sloupce nejsou linearne nezavisle, tedy determinant je nula pro libovolne .

↑ Daniela_H: Nejprve pricti (-1)-nasobek prvniho sloupce ke vsem ostatnim sloupcum. Dostanes pro 2. az posledni sloupec nuly vsude krome hlavni diagonaly. Tento proces determinant nezmeni. Pak vem (-1)-nasobek vzniknuvsiho prvniho radku (je tam 10000000......0) a ten pricti ve vsem ostatnim radkum: tim se zbavis tech jednicek, co zustaly v prvnim sloupci pod hlavni diagonalou. A soucin na hlavni diagonale ti pak dava to, co hledas. Nebo ten druhy krok muze byt nahrazen Laplaceovym rozvojem treba podle prvniho radku.

Jinak obecne bych rekl (i kdyz to teda neni zrovna tento priklad), ze skolske determinanty obecneho radu jdou v dost pripadech nejak zredukovat na Vandermonduv determinant - kdyztak mrkni na netu, o cem to je. Muze to byt dost uzitecne.

↑ Daniela_H:

| 1 1 1 1 1 1 1  ...  1 |            | 1 0 0 0 0 0  ...  0     |
| 1 2 1 1 1 1 1  ...  1 |            | 1 1 0 0 0 0  ...  0     |
| 1 1 3 1 1 1 1  ...  1 |     =     | 1 0 2 0 0 0  ...  0     |
| 1 1 1 4 1 1 1  ...  1 |            | 1 0 0 3 0 0  ...  0     |
|             ...             |            |            ...               |
| 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n  |            | 1 0 0 0 0 0 ... (n-1) |

tedy bud Laplace podle prvniho radku dava

      | 1 0 0 0 0  ...  0      |
      | 0 2 0 0 0  ...  0      |
1 * | 0 0 3 0 0  ...  0      |
      |         ...                 |
      | 0 0 0 0 0  ... (n-1)  |

nebo to mnou puvodne navrzene pricteni (-1) nasobku prvniho radku ke vsem ostatnim radkum dava

| 1 0 0 0 0  ...  0      |
| 0 1 0 0 0  ...  0      |
| 0 0 2 0 0  ...  0      |
| 0 0 0 3 0  ...  0      |
|         ...                 |
| 0 0 0 0 0  ... (n-1)  |

coz je porad ten stejny vysledek, a to (n-1)!

↑ Daniela_H: Ajajajaj.... Mas ujasneno, co to znamenaji ty tri tecky vsude mozne v tom zadani?

A jak ti prosimte mohla zmizet ta dvojka z te me matice? To jsi ji nejakym kouzlem odstranila pomoci jednicky vlevo nad ni?

V okamziku, kdy mas matici, ktera ma pod hlavni diagonalou nuly, tak determinant teto matice je soucin vsech prvku na jeji hlavni diagonale. To urcite vis. Odtud tedy plyne, ze determinant je

      2 krat 3 krat 4 krat 5 krat ... az .... krat (n-1),

tedy je to cislo (n-1)!

Takže tento příklad odpovídá tomu poslednímu probíranému - tedy determinant je (n-1)!.
Potvrďte mi to prosím vás.