Matematické Fórum

PaSha · 18. 05. 2014 15:05

ahoj! příští týden budeme psát písemku na nerovnice s absolutní hodnoutou , ale nevím jak se to počítá, může mi to, prosím, někdo vysvětlit na tomto příkladu?
$3 >|x-1|$

marnes · 18. 05. 2014 15:49 — Editoval marnes (18. 05. 2014 15:51)

↑ PaSha:
Když je jedna AH, tak je to nejrychlejší přes definici

$d >|x-a|$

na osu naneseme číslo a, od něj vpravo i vlevo čísla a-d a a+d

Když hledáme čísla menší než d, je to otevřený interval a-d;a+d, kdyby bylo větší, tak sjednocení intervalů
-oo;a-d sj a+d;oo

kdyby bylo včetně, tak u a-d a a+d uzavřený interval

pozor!
Kdyby v zadání třeba $|x+4|\le 3$ tak je potřeba upravit na $|x-(-4)|\le 3$ a hledáme od mínus čtverky

Freedy · 18. 05. 2014 15:51

Ahoj, existuje mnoho způsobů, ukážu ti pár z nich:

1)
absolutní hodnota rozdílu je vzdálenost dvou čísel na ose.
Absolutní hodnota |x-1| značí vzdálenost x od čísla 1.
$3 >|x-1|$ vzdálenost x od čísla jedna musí být tedy menší než tři. Takže nalevo od jedničky půjdeš a dostaneš se na -2 (ovšem ta do intervalu nepatří, jelikož tam není menší rovno) a napravo od jedničky se dostaneš na 4 (také né úplně). Proto bude výsledným intervalem: $x \in (-2;5)$

2)
na obou stranách nerovnice máš kladné číslo. Můžeš tedy celou nerovnici umocnit na druhou a z ní vyčíst interval:
$9>x^2-2x+1$
$x^2-2x-8<0$
$(x-4)(x+2)<0$
Součin dvou činitelů je menší než nula když je jeden z činitelů menší než nula a druhý větší než nula. Výsledný interval bude tedy:
$x\in (-2;4)$

3)
nejdříve budeš řešit nerovnost na intervalu, na kterým je dvojčlen uvnitř závorky kladný.
$x\in (1;\infty )$
můžeš tedy nerovnici přepsat do tvaru:
$3>x-1$
$x<4$ >>> řešíš na intervalu x > 1. Sjednocení těchto dvou intervalů ti dá (1;4)

nyní řešíš nerovnici na tom zbývajícím intervalu, kde je dvojčlen v závorce záporný:
$x\in (-\infty ;1\rangle$
můžeš nerovnici přepsat do tvaru:
$3>-x+1$
$x>-2$ >>> řešíš na intervalu x <=1. Sjednocením těchto dvou intervalů ti dá (-2;1]
Výsledným intervalem bude sjednocení těchto dvou konečných intervalů čili:
$(1;4)\cup (-2;1\rangle = (-2;4)$

Matematické Fórum

#1 18. 05. 2014 15:05

nerovnice s absolutní hodnotou

#2 18. 05. 2014 15:49 — Editoval marnes (18. 05. 2014 15:51)

Re: nerovnice s absolutní hodnotou

#3 18. 05. 2014 15:51

Re: nerovnice s absolutní hodnotou

Zápatí