Matematické Fórum

Jirda · 15. 05. 2014 22:41 — Editoval Jirda (15. 05. 2014 22:41)

Zdravim,

pripravuji se na zkousku a narazil jsem na tenro priklad, s kterym si moc nevim rady. Priklad zni:

Na usecce AB delky d jsou nahodne zvoleny body X a Y, pricemz vzdalenost bodu X od bodu A je mensi nez vzdalenost bodu Y od bodu A. Jaka je pravdepodobnost, ze delka usecky AX je vetsi nez delka usecky XY?

Naprosot nemam paru, jak postavit reseni. Prvne me napadlo, ze by to bylo 50 %, protoze X se zapichne nekde mezi A a Y, ale bude to urcite komplikovanejsi, kdyz se musi brat v uvahu ta delka d usecky.

DIky za pomoc.

vnpg · 16. 05. 2014 01:45 — Editoval vnpg (16. 05. 2014 09:51)

Zdravím,

Pro zjednodušení zápisu předpokládejme, že úsečka AB je interval [0,1] (a tím pádem d = 1).

Dále předpokládejme, že X a Y jsou navzájem nezávislé náhodné veličiny, které mají rovnoměrné rozdělení na intervalu [0,1]. Chceme vypočítat podmíněnou pravděpodobnost

$\mathbb{P}(X > Y - X \mid Y - X > 0)$ , to jest $\frac{\mathbb{P}(X < Y < 2X)}{\mathbb{P}(X < Y)}$ .

K výpočtu $\mathbb{P}(X < Y < 2X)$ můžeme použít fakt, že sdružená hustota nezávislých náhodných veličin je součinem marginálních hustot.

Edit: Vaše úvaha, podle které jste došel k výsledku 50 %, je správná. Skutečně můžeme uvažovat tak, že nejprve náhodně vybereme bod Y na úsečce AB a pak náhodně vybereme bod X na úsečce AY.

Jirda · 17. 05. 2014 23:10

↑ vnpg:

Rozumim tomu spravne, ze ta vzdalenost d je prakticky nepodstatna? Protoze at je d = 1 nebo d = 10, tak se to nahodnostne bude chovat stejne, paklize je to rovnomerne rozdeleni.

Porad moc nevim, jak ale pokracovat v tom vypoctu, ktery jste naznacil.

Diky za odpoved.

vnpg · 18. 05. 2014 11:30

Dobrý den,

Ano, na délce $d$ nezáleží. Můžeme to ověřit následujícím způsobem: jsou-li $\tilde{X}$ a $\tilde{Y}$ náhodné proměnné s rovnoměrným rozdělením na intervalu $[0,d]$ , pak $X = \tilde{X}/d$ a $Y = \tilde{Y}/d$ jsou náhodné proměnné s rovnoměrným rozdělením na intervalu $[0,1]$ . Navíc lze snadno ověřit, že nezávislost náhodných proměnných $\tilde{X}$ a $\tilde{Y}$ implikuje nezávislost náhodných proměnných $X$ a $Y$ . Jak již bylo zmíněno, řešením našeho problému je $\mathbb{P} (\tilde{X} < \tilde{Y} < 2\tilde{X}) / \mathbb{P} (\tilde{X} < \tilde{Y})$ . Pravděpodobnosti náhodných jevů, které nás zajímají, splňují $\mathbb{P} (\tilde{X} < \tilde{Y} < 2\tilde{X}) = \mathbb{P} (\tilde{X}/d < \tilde{Y}/d < 2\tilde{X}/d) = \mathbb{P} (X < Y < 2X)$ a podobně $\mathbb{P} (\tilde{X} < \tilde{Y}) = \mathbb{P} (X < Y)$ . Tím jsme ověřili, že problém lze převést na případ $d = 1$ .

Nyní zbývá spočítat $\mathbb{P}(X < Y)$ a $\mathbb{P}(X < Y < 2X)$ (za předpokladu, že $X$ a $Y$ jsou vzájemně nezávislé a mají rovnoměrné rozdělení na intervalu $[0,1]$ ). Myslím si, že je nejjednodušší počítat to přes hustoty. Protože $X \sim U([0,1])$ , hustota náhodné proměnné $X$ je daná předpisem $f_X(x) = 1$ pro $x \in [0,1]$ a $f_X(x) = 0$ pro $x \notin [0,1]$ . Podobně hustota $Y$ je dána předpisem $f_Y(y) = 1$ pro $y \in [0,1]$ a $f_Y(y) = 0$ pro $y \notin [0,1]$ . Protože $X$ a $Y$ jsou vzájemně nezávislé, je jejich sdružená hustota součinem marginálních hustot, tj. $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$ . Je tedy jasné, že funkce $f_{X,Y}$ má hodnotu $1$ ve čtverci $[0,1]^2$ a hodnotu $0$ mimo čtverec $[0,1]^2$ (tj. je to charakteristická funkce množiny $[0,1]^2$ ).

Pravděpodobnost $\mathbb{P} (X < Y < 2X)$ spočítáme tak, že integrujeme $f_{X,Y}$ přes oblast $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x < y < 2x \}$ . V našem případě je $f_{X,Y}$ charakteristická funkce množiny $[0,1]^2$ , takže $\mathbb{P} (X < Y < 2X)$ je obsah trojúhelníku o vrcholech $(0,0)$ , $(1,1)$ a $(1/2,1)$ . Podobně spočítáme $\mathbb{P}(X < Y)$ .