Matematické Fórum

dvorijan · 18. 05. 2014 23:59

Ahoj,

potřeboval bych pomoci s odvozením vzorce druhé parciální derivace implicitní funkce určenou implicitně rovnicí z(x,y,z). Mám odvozené vzorce pro z´´(xx), i pro z´´(yy), ale nemohu přijít na ten poslední z´´(xy). Vím, že se to už něco podobného řešilo viz. http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=47456, ale nevím si s tím rady.
Díky moc!

Rumburak · 19. 05. 2014 10:18

↑ dvorijan:
Ahoj.

... funkce určenou implicitně rovnicí z(x,y,z).

Tato část zadání je evidentně chybná: symbol z(x,y,z) NENÍ rovnice.

Jj · 19. 05. 2014 11:23

↑ dvorijan:

Dobrý den, a v čem se nedaří?
Řekl bych, že pro implicitně zadanou funkci f(x,y,z) = 0 spočítáte např. derivace

podle x: $f'_x + f'_z\cdot z'_x = 0,$
dále podle y: $f''_{xy}+ (f'_z\cdot z'_x)'_y =f''_{xy}+ f''_{zy}\cdot z'_x+f'_z\cdot z''_{xy} = 0.$

Z první rovnice spočítáte $_{z'_x}$ a dosadíte do druhé rovnice, z níž pak spočítáte $_{z''_{xy}}.$

Nebo derivujete nejdříve podle y, pak podle x.

dvorijan · 19. 05. 2014 13:31

↑ Jj: $f''_{xy}+ (f'_z\cdot z'_x)'_y =f''_{xy}+ f''_{zy}\cdot z'_x+f'_z\cdot z''_{xy} = 0.$

Tohle jsme upravil na:
$z''_{xy}=-(f''_{xy}\cdot f'_z-f''_{zy}\cdot f'_x)/ (f'_z\cdot f'_z)$
Je to tak správně? :)

A vychází tedy pak tedy u příkladu x^2+y^2+z^2=a^2 $z''_{xy}=0$ ?

Díky moc!!!

Jj · 20. 05. 2014 11:30

↑ dvorijan:

Takže zřejmě ne, dodatečně si uvědomuji, že jsem nederivoval dobře a neměl jsem dost času a klidu.
Takže ještě odpovím - spíše večer.

Jj · 21. 05. 2014 20:37

↑ dvorijan:

Při derivaci tady ↑ Jj: jsem neuvážil, že při druhých derivacích musím příslušné výrazy
opět derivovat jako implicitní funkci z.

Takže to bude poněkud dobrodružnější:
$f'_x + f'_z\cdot z'_x = 0,\; f'_y + f'_z\cdot z'_y = 0,$

Derivace první rovnice podle y:
$(f'_x)'_y + (f'_z)'_y\cdot z'_x + f'_z\cdot( z'_x)'_y = 0$
$(f''_{xy} + f''_{xz}\cdot z'_y)+ (f''_{zy} + f''_{zz}\cdot z'_y)\cdot z'_x + f'_z\cdot( z''_{xy}) = 0$

Pak, po dosazení za $z'_x, z'_y$ z prvnich dvou rovnic nahoře a po úpravě dostaneme:

$z''_{xy} = -\frac{(f''_{xy} - f''_{xz}\cdot f'_y/f'_z)- (f''_{zy} - f''_{zz}\cdot f'_y/f'_z)\cdot f'_x/f'_z}{f'_z}$
....
$z''_{xy} = -\frac{(f''_{xy}\cdot f'_z - f''_{xz}\cdot f'_y)\cdot f'_z- (f''_{zy}\cdot f'_z - f''_{zz}\cdot f'_y)\cdot f'_x}{f'_z^3}$

Což je zřejmě pro výpočet smíšené derivace poněkud krkolomné, zjednodušit to neumím.

Váš příklad $x^2+y^2+z^2 - a^2 = 0$ :
$f'_x = 2x,\; f'_y = 2y, f'_z = 2z, f''_{zz}=2, f''_{xy}=f''_{xz}=f''_{zy}=0$
a
$z''_{xy}-\frac{(0\cdot 2z - 0\cdot 2y)\cdot 2z- (0\cdot 2z - 2\cdot 2y)\cdot 2x}{(2z)^3}=-\frac{8xy}{8z^3}=-\frac{xy}{z^3}$

Řekl bych, že lepší postup je vyjít z první derivace a derivovat po druhé:

$z'_x = -\frac{x}{z}\Rightarrow z''_{xy}=-\frac{0\cdot z - z'_y\cdot x}{z^2}=-\frac{(y/z)\cdot x}{z^2}=-\frac{xy}{z^3}$

dvorijan · 22. 05. 2014 20:11

↑ Jj:

Díky, moc za odvození. Nakonec jsem také zjistil, že je lepší to derivovat "normálně" a ne podle vzorců. Zkouška je úspěšně za mnou a příklad na implicitní funkce jsem zvládl, takže je vše v pořádku!

Díky moc!

Jj · 22. 05. 2014 20:19

dvorijan napsal(a):
↑ Jj:

Zkouška je úspěšně za mnou ....

To mne těší - gratulace!

Matematické Fórum

#1 18. 05. 2014 23:59

druhá derivace implicitní funkce

#2 19. 05. 2014 10:18

Re: druhá derivace implicitní funkce

#3 19. 05. 2014 11:23

Re: druhá derivace implicitní funkce

#4 19. 05. 2014 13:31

Re: druhá derivace implicitní funkce

#5 20. 05. 2014 11:30

Re: druhá derivace implicitní funkce

#6 21. 05. 2014 20:37

Re: druhá derivace implicitní funkce

#7 22. 05. 2014 20:11

Re: druhá derivace implicitní funkce

#8 22. 05. 2014 20:19

Re: druhá derivace implicitní funkce

dvorijan napsal(a):

Zápatí