Matematické Fórum

milwoukee

Ahoj, mam taky problem. Viem vacsinu spravit, ale na konci neviem ako dostat vysledok:
Mame 30 bielych, 40 cervenych a 50 hnedych kamenu. Kolko sposobmi mozme vybrat 70?

Su to postupnosti - (1,x,x^2....x^30)*(1..x^40)*(1...x^50) z coho dostanem toto:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/36908_mb104%2B72.PNG

Tomu rozumiem. Aj potom tomu prvemu (72 nad 2), ale podla akeho pravidla dostaneme tie dalsie cisla v zatvorkach? Viem ze 72-31 je 41 atd. Ale nechapem presne ako to dostali. Ukazete mi ako?

Tu je vysledok. Vdaka.

EDIT: Este ma napadlo ze miesto tych bodiek mi tam skor sedi krat.

Rumburak · 20. 05. 2014 10:01

↑ milwoukee:

Ahoj. Nabízí se zásadní otázka: Mezi jednotlivými kameny téže barvy rozlišujeme nebo ne ?

Pokud ne, potom stačí zjistit počet usp. dvojic $[b, c]$ takových, že

$b \in \{0, 1, ..., 30\} , c \in \{0, 1, ..., 40\} , b + c \ge 20$ .

Pokud ano (například když kameny téže barvy jsou očíslovány), pak bude nutno použít jiný postup.

Brano · 20. 05. 2014 11:21

↑ Rumburak:
ak som spravne pochopil ten povodny postup, tak nerozlisujeme
↑ milwoukee:
cize snazis sa zistit clen pri $x^{70}$ v roznasobenej forme funkcie
$f(x)=\frac{(1-x^{31})(1-x^{41})(1-x^{51})}{(1-x)^3}$
(alebo ekvivalentne v Taylorovom rozvoji)

Clen pri $x^{n}$ nejakej fcie $g$ si oznacme $g_n$ a teda plati $n!g_n=g^{(n)}(0)$ .
Podme sa pozriet na $g=(1-x)^{-3}$ . Plati $g^{(n)}=3\cdot 4...(n+2)(1-x)^{-3-n}$ a teda
$g_n={n+2\choose 2}$ .
Teraz sa pozrime na $h=x^k(1-x)^{-3}$ . Ocividne
$h_n=g_{n-k}={n-k+2\choose 2}$ (co je =0 pre $n<k$ ) No a na zaver sa pozrime na nasu
$f=(1-x^{31}-x^{41}-x^{51}+x^{72}+x^{82}+x^{92}-x^{123})(1-x)^{-3}$
cize
$f_n={n+2\choose 2}-{n-31+2\choose 2}-{n-41+2\choose 2}-{n-51+2\choose 2}+$
$+{n-72+2\choose 2}+{n-82+2\choose 2}+{n-92+2\choose 2}-{n-123+2\choose 2}$
a teda
$f_{70}={72\choose 2}-{41\choose 2}-{31\choose 2}-{21\choose 2}+0+0+0-0$

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2014 00:04 — Editoval milwoukee (20. 05. 2014 00:05)

Binomicka veta - vytvorujici funkce

#2 20. 05. 2014 10:01

Re: Binomicka veta - vytvorujici funkce

#3 20. 05. 2014 11:21

Re: Binomicka veta - vytvorujici funkce

Zápatí