Matematické Fórum

Nanoliquid · 20. 05. 2014 11:57

Dobrý den,

mám zadánu funkci $z=1-\sqrt{x^2+y^2}$

Mám vyšetřit lokální extrémy. Vyšel mi stacionární bod $[0,0]$

Avšak Hessián mi taktéž vychází nulový. Tudíž tam extrém může být, ale nemusí. Jak se obecně v tomto případě dále pokračuje prosím ? Vím dle výsledku, že v tomto bodě má být maximum.

Děkuji

Rumburak · 20. 05. 2014 12:27

↑ Nanoliquid:

Zdravím.

Obecně by se postupovalo podrobnou analýzou chování funkce na nějakém okolí stacionárního bodu ,
na křivkách procházejících tímto bodem a pod.

Toto je typická úloha, jejíž řešení se výrazně usnadní přechodem k polárním souřadnicím $r, t$
tak, aby (dejme tomu) $x = r \cos t , y = r \sin t , r \ge 0 , 0 \le t < 2\pi$ .

Nanoliquid · 20. 05. 2014 12:31

S převodem na polární souřadnice jsem se bohužel setkal pouze v integrálním počtu. Jak tedy dále postupovat ?

Děkuji

Rumburak · 20. 05. 2014 13:09

↑ Nanoliquid:

$z=1-\sqrt{x^2+y^2} = 1-\sqrt{r^2\cos^2 t +r^2\sin^2 t} = ... = 1 - |r|$

a teď už téměř není co řešit.

Nanoliquid · 20. 05. 2014 14:35

Zřejmě nerozumím derivovacímu procesu. Ten samý problém mám u několika dalších případů, kdy mi hessián vychází 0.

Rumburak

↑ Nanoliquid:

Zde bych doporučoval postavit se k tomu trochu jinak - s rozmyslem a ne úplně mechanicky.

Když nechceme substituovat do polárních souřadnic, můžeme funkci $f(x,y) :=1-\sqrt{x^2+y^2}$ rozepsat do tvaru

(1) $f(x,y) := F(u(x,y))$ , kde $F(u) := 1 - \sqrt{u}, u \ge 0$ , $u(x,y) := x^2+y^2$ .

Je zřejmé, že funkce $u \mapsto \sqrt{u} , u \ge 0$ je rostoucí , takže funkce $F$ je klesající. Odtud a z (1) plyne:
funkce $f$ má extrémy v týchž bodech jako funkce $u$ , avšak extrémy funkce $f$ jsou extrémy opačného druhu než
odpovídající extrémy funkce $u$ ("druhem" extrému zde mám na mysli maximum nebo naopak minimum) .

Hledejme tedy extrémy funkce $u(x,y) := x^2+y^2$ , zde problémy s nulovým Hessiánem nebudou.

Nanoliquid · 20. 05. 2014 16:43

Výborně vysvětleno. Děkuji moc :). Zde to chápu

U jiných příkladů si však stejně nevím rady. Zřejmě nemám to vidění :)

Rumburak · 20. 05. 2014 16:56

↑ Nanoliquid:

To "vidění" do matematického problému se dá pěstovat cvikem (samozřejmě při znalosti příslušné teorie).

Marian · 21. 05. 2014 09:27 — Editoval Marian (21. 05. 2014 11:56)

↑ Nanoliquid:↑ Rumburak:

Téma považuji za vyřešené, proto podám detailnější odpověď.

Nejsem si jist hlavně informací tazatele, odkud má určený stacionární bod (0,0) - podotýkám, že je určen správně. Nejasnost vidím v tvrzení, že Hessián je roven nule. To ale nemůže být pravda, protože neexistují ani první parciální derivace v tomto bodě (natož tedy derivace druhé a potažmo Hessián).

(opravená část)
Parametrizace (přechod do polárních souřadnic) skutečně problém značně ulehčí. Ale tady stačí přece jednoduché ověření platnosti definice lokálního minima, resp. maxima.
(konec opravené části)

Doporučoval bych sestavit výraz

kde $x_0$ , resp. $y_0$ je abscisa, resp. ordináta bodu podezřelého z lokálního extrému (zde $x_0=y_0=0$ ) a $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ jsou všechny uspořádané dvojice náležející dostatečně malému prstencovému $\delta$ -okolí bodu $(x_0,y_0)$ . Podaří-li se v nerozhodném případě (Hessián nulový nebo neexistuje) ukázat, že výše uvedený výraz je pro všechny zmiňované volby $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ kladný, resp. záporný, pak má funkce v bodě $(x_0,y_0)$ ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum (to plyne snadnou úpravou na tvar $f(x_0,y_0)>f(x,y)$ , resp. $f(x_0,y_0)<f(x,y)$ a z definice ostrých lokálních extrému reálné funkce dvou reálných proměnných).

Máme jistě $f(0,0)=1$ . Sestavme dále výraz $f(x_0,y_0)-f(x,y)$ :

Tento výraz je však kladný dokonce pro všechna $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ , $(x,y)\neq (0,0)$ . V bodě $(0,0)$ má tak funkce f ostré lokální maximum.