Matematické Fórum

Petra2014 · 21. 05. 2014 21:34

Ahojte, prosim pomozete mi s touto ulohou?

Urcte n vo vyraze ( $\sqrt[3]{2}$ - $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ $)^{n}$ , ak 7. člen binomického rozvoja je šesťkrát menší ako (n-5) člen toho istého binomického rozvoja.

viem si vypocitat resp. vyjadrit 7. clen, ale co dalej?

marnes · 21. 05. 2014 21:42

↑ Petra2014:

vyjádří stejným způsobem (n-5) tý člen a sestav rovnici

6 krát sedmý člen = (n-5) tý člen

kryštof

↑ Petra2014:
Možná se bude hodit, že ${{n}\choose{k}}={{n}\choose{n-k}}$ :)

Petra2014 · 21. 05. 2014 21:49

↑ marnes:

ok idem to skusit, co z toho bude :)

Petra2014

↑ marnes:

som sa niekde musela zamotat :(((

6. $\frac{n!}{(n-6)!6!}$ . $2^{(n-6)/3}$ . $\frac{1}{9}$ = $\frac{n!}{(n-6)!6!}$ .4. $(-3^{(n-6)/3})$

z toho mi po uprave vyslo:

$\frac{6}{36}.2^{\frac{n}{3}}$ = $36.(-3)^{\frac{n}{3}}$

tomson · 21. 05. 2014 22:55

Ahoj,

tak tú rovnicu 6 krát sedmý člen = (n-5) tý člen som si napísal takto:

$6{{n}\choose{6}}{{(\sqrt[3]{2})^{n-6}}\over{(\sqrt[3]{3})^6}}={{n}\choose{n-6}}{{(\sqrt[3]{2})^{6}}\over{(\sqrt[3]{3})^{n-6}}}$

Využiješ tú rovnosť:
${{n}\choose{k}}={{n}\choose{n-k}}$

Upraví sa ti to na rovnosť:
$6(\sqrt[3]{2})^{n-12}(\sqrt[3]{3})^{n-12}=1$
$6^{{{n-12}\over{3}}+1}=6^0$
$n=9$

gadgetka · 21. 05. 2014 22:56

7. člen = (k+1). člen => k=6
${n\choose 6}(\sqrt[3]{2})^{n-6}$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$^6$

(n-5). člen = (k+1). člen => k=n-6
${n\choose {n-6}}(\sqrt[3]{2})^{6}$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$^{n-6}$

Ze zadání platí:
$6\cdot {n\choose 6}(\sqrt[3]{2})^{n-6}$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$^6={n\choose {n-6}}(\sqrt[3]{2})^{6}$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$^{n-6}$

Protože platí:
${{n}\choose{6}}={{n}\choose{n-6}}$

dostáváš rovnici
$6\cdot (\sqrt[3]{2})^{n-6}$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$^6=(\sqrt[3]{2})^{6}$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$^{n-6}$

Stačí vyřešit... ;)