Matematické Fórum

Dancess · 21. 05. 2014 18:32

Ahoj, nevím si rady, prosím, pomozte. Díky
Určete průnik přímek p,q v prostoru a rozhodněte o jejich vzájemné poloze.
p: 2x+y-z=0, x-3y+2z-14=0
q: x+5y-6z+34=0, 6x-2y-z-9=0

Freedy · 21. 05. 2014 19:04

Ahoj, vyjádři si dané přímky parametricky a to tak že dosadíš t například za z a poté dopočítáš x a ypsilon (soustava dvou rovnic o dvou neznámých + parametr t)
Poté porovnáš tyto směrové vektory daných přímek. Můžou nastat situace kdy budou rovnoběžné, mimoběžné, různoběžné nebo totožné.

Dancess · 21. 05. 2014 19:17

↑ Freedy:
Bohužel mi to stále nevychází, nešlo by to, prosím, trochu konkrétněji? Výsledný průsečík různoběžek má být P $[3,1,7]$ .

Takjo · 21. 05. 2014 20:30

↑ Dancess:
Dobry večer,
a jak vám vyšly parametrické rovnice obou přímek?
Protože je máte zadané jako průsečnice dvou rovin, takže je nejprve musíte zjistit.

Dancess · 21. 05. 2014 20:59

↑ Takjo:
Ano, to chápu, ale vychází mi tady nějaké šílené zlomky, a pak už se v tom ztrácím a jsem bezradná..

jelena · 21. 05. 2014 22:34

↑ Dancess:

Zdravím,

je dobré potom napsat celý postup, protože od monitoru nejde dohlédnout na Tvé šílené zlomky. Tak ještě přidej, pokud je zájem o kontrolu. Děkuji.

Dancess · 22. 05. 2014 10:16

↑ jelena:
Tak pokud si zvolím parametr z=t, tak první soustava bude:
2x+y=t
x-3y=14-2t
z toho vynásobím druhou rovnici -2 a sečtu a vyjde mi:
7y=5t-28 => y=5/4t-4
Tento výsledek dosadím do 1. rovnice a mám:
2x=t-5/4t+4 => x=-1/8t+2
To by mi vyšlo ještě hezky, ale ta druhá soustava mi prostě nejde.
x+5y=6t-34
6x-2y=t+9
První vynásobím -6 a sečtu a vyjde mi:
-32y=-35t+213 => y=35/32t-213/32
..No a tady vždy skončím, protože se ta čísla nedají ani pokrátit a dále už mi to nevychází. Možná dělám něco špatně, ale když to počítám už po několikáté, nedokážu vymyslet nic jiného.

jelena · 22. 05. 2014 11:15

↑ Dancess:

děkuji, zatím narychlo chybu nevidím, ale i s výsledkem y=(35/32)t-(213/32) můžeš pokračovat dosazovat do 1. rovnice x+5y=6t-34. Ještě je třeba zvolit pro 2. přímku jiný parametr (např. s, ne stejný jako pro první). A dokončit porovnání stejných souřadnic přímek v parametrickém tvaru.

Ale pro jistotu si výpočet napíši na papír. Snad ještě překontrolovat zadání, zda není překlep již v zápisu - odkud je úloha? Děkuji.

Rumburak · 22. 05. 2014 11:21

↑ Dancess:

Ahoj.

Řekl bych, že numericky by to mohlo vycházet lépe, pokud bychom našli vhodný směrový vektor přímky.

Za směrový vektor přímky $q: x+5y-6z+34=0, 6x-2y-z-9=0$ můžeme vzít libovolný
takový vektor $\vec{u}$ , který je nenulový a příi tom kolmý k vektorům $(1 , 5, -6) , (6 , -2 , -1)$ , což jsou
normálové vektory rovin určujících tu přímku. Volíme ho tak, aby měl pokud možno jednoduché souřadnice.

Dále najdeme nějaký bod $Q$ té přímky (opět s rozumnými souřadnicemi) a tím máme základ pro určení jejího
parametrického vyjádření.

Takjo · 22. 05. 2014 11:39

↑ Dancess:
Dobrý den,
přestože se při výpočtu vyskytují nepříjemné zlomky, zadání je správně a výsledek je skutečně $[3,1,7]$ .
Nenechte se odradit, jste na dobré cestě... :)

Dancess · 22. 05. 2014 11:45

↑ jelena:
Zadání jsem kontrolovala už tolikrát, že hledám chybu tam, kde určitě není.. A vím, že se dá i s takovými čísly pokračovat, ale nikdy se nedostanu k výsledku, kde jsou celá malá čísla. A příklad je ze školní cvičebnice.
↑ Rumburak:
Takový postup mi bohužel není moc jasný..

Dancess · 22. 05. 2014 12:01

↑ Takjo:
O tom nepochybuji, že by to nebylo správně, ale já už po 2 hodinách řešení jen tohoto příkladu pochybuji spíš o sobě.. Ale děkuji

Takjo · 22. 05. 2014 12:28

↑ Dancess:
Dobrý den,
takže postupně:
přímka p: $2x+y-t=0$ $\Rightarrow$ $y=t-2x$
$x-3y+2t-14=0$ a po dosazení za $y=t-2x$ dostanete $x=\frac{1}{7}t+2$
Dále po dosazení vypočteného x do $y=t-2x$ dostanete $y=-4+\frac{5}{7}t$
Takže parametrické rovnice přímky p jsou: $x=2+\frac{1}{7}t$
$y=-4+\frac{5}{7}t$
$z=t$
Směrový vektor: $s_{p}(\frac{1}{7};\frac{5}{7};1)$ , což se dá zjednodušit vynásobením 7 : $s_{p}(1;5;7)$

Takže parametrické rovnice přímky p jsou potom: $x=2+t$
$y=-4+5t$
$z=7t$

Obdobně totéž pro přímku q

Dancess · 22. 05. 2014 12:47

↑ Takjo:
Tisíceré díky, konečně jsem se dopracovala do správného konce!

jelena · 22. 05. 2014 20:45

↑ Dancess:

děkuji za upřesnění a kolegovi ↑ Takjo: za vytrvalost :-)

Ještě k návrhu kolegy ↑ Rumburak: - vychází z toho, že směrový vektor přímky tvořeny 2 rovinami musí být kolmý k normálovým vektorům rovin (pro nalezení takového vektoru použiješ vektorový součin normálových vektorů rovin). Bod na přímce najdeš tak, že v rovnicích rovin tvořících přímku si zvolíš jednu souřadnici (např z=0) a vyřešíš vzniklou soustavu rovnic 2 neznámých.

Případně to s kolegou ještě prodiskutuj, než téma označíš za vyřešené. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2014 18:32

Analytická geometrie

#2 21. 05. 2014 19:04

Re: Analytická geometrie

#3 21. 05. 2014 19:17

Re: Analytická geometrie

#4 21. 05. 2014 20:30

Re: Analytická geometrie

#5 21. 05. 2014 20:59

Re: Analytická geometrie

#6 21. 05. 2014 22:34

Re: Analytická geometrie

#7 22. 05. 2014 10:16

Re: Analytická geometrie

#8 22. 05. 2014 11:15

Re: Analytická geometrie

#9 22. 05. 2014 11:21

Re: Analytická geometrie

#10 22. 05. 2014 11:39

Re: Analytická geometrie

#11 22. 05. 2014 11:45

Re: Analytická geometrie

#12 22. 05. 2014 12:01

Re: Analytická geometrie

#13 22. 05. 2014 12:28

Re: Analytická geometrie

#14 22. 05. 2014 12:47

Re: Analytická geometrie

#15 22. 05. 2014 20:45

Re: Analytická geometrie

Zápatí