Matematické Fórum

miso16211

zdravím rieším matematicky problem vo fyzike.

Mame obvod so vsetkymi prvkami - odpor R, kapacita C, indukcnost L. Ziadny zdroj! Na zaciatku je kondenzátor nabity na napetie $U_0$ .
pre prud v obvode mozno pisat $I(t)=\frac{U_0}{L\beta }e^{-\alpha t}\frac{e^{\beta t}-e^{-\beta t}}{2}$

kde $U_0$ zaciatocne napetie
beta je $\beta =\sqrt{\alpha ^2-\omega _0^2}=\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}$
alfa je $\alpha =\frac{R}{2L}$
e je eulerovo číslo
L indukčnost na cievke.

Moja otázka:
a,

ak $\alpha =\omega _0$ tak $\beta =0$ $R=2\sqrt{\frac{L}{C}}=R_{kr}$ (kritické tlmenie, aperiodicke dej kriticky.)

autor udáva že tak výraz prúdu prejde na tvar $I (t)=\frac{U_0}{\beta L}e^{-\alpha t}t$
Vobec nechapem ako dosjt k tomu tvaru, kedze autro uvadza ze nejak limitne $\beta \Rightarrow 0$ . na prednaske sme ten prud pre tuto moznost napisali $I(t)=\frac{U_0}{L}e^{-\alpha t}$ . NEviem ci su tie vyrazy totozne a ako sa k nim dostat.

b, tlemene kmity

ak $\alpha \ll \omega _0$ tak $R\ll 2\sqrt{\frac{L}{C}}=R_{rk}$ a beta je $\beta =j\omega$

kde j je komplexna jednotka $j=\sqrt{-1}$ a $\omega =\sqrt{\omega _0^2-\alpha ^2}$

pre prud potom autor i prednasajucu napisali : $I(t)=\frac{U_0}{\omega L}e^{-\alpha t}\frac{e ^{j\omega t}-e ^{-j\omega t}}{2j}=\frac{U_0}{\omega L}e^{-\alpha t}sin(\omega t)$

Nechapu tym vztahom pre prud ako sme ich z pôvodneho vztahu pre prud zjednodusili.

Jj · 22. 05. 2014 11:43 — Editoval Jj (22. 05. 2014 11:54)

↑ Jj:

Dobrý den, ad a) Protože

$I(t)=\frac{U_0}{L\beta }e^{-\alpha t}\frac{e^{\beta t}-e^{-\beta t}}{2}=\frac{U_0}{L}e^{-\alpha t}\frac{sinh(\beta t)}{\beta}$
a
$lim_{\beta \to 0} \frac{sinh(\beta t)}{\beta} = t$

tak bych řekl, že $I(t)=\frac{U_0}{L}e^{-\alpha t}\cdot t$

ad b)
$I(t)=\frac{U_0}{\omega L}e^{-\alpha t}\frac{e ^{j\omega t}-e ^{-j\omega t}}{2j}=\frac{U_0}{\omega L}e^{-\alpha t}sin(\omega t)$

protože podle Eulerova vzorce $e^{\pm j\cdot x}=cosx \pm j\cdot sinx$ , pak

$\frac{e ^{j\omega t}-e ^{-j\omega t}}{2j}=\frac{cos(\omega t)+jsin(\omega t)-cos(\omega t)+jsin(\omega t)}{2j}=\frac{2jsin(\omega t)}{2j}=sin(\omega t)$

Ferdish · 22. 05. 2014 11:54

Otázka - je to SŠ (VOŠ) fyzika alebo VŠ fyzika?

miso16211 · 22. 05. 2014 16:48

↑ Ferdish: zrejme VŠ fyzika , je to jedno pre mňa.

miso16211 · 22. 05. 2014 16:51

↑ Jj: diki moc, tie vzorecky som niekde videl, to po a, je lahke, staci pouzit geogebru a najst limitu. Lenž kto ma pravdu autor, nebo prednasajuci nebo ty :D

Jj · 22. 05. 2014 18:16

miso16211 napsal(a):
↑ Jj: Lenž kto ma pravdu autor, nebo prednasajuci nebo ty

Tak z hlediska fyziky nevím. Jen jsem zareagoval na informaci, že zřejmě jde o limitu uvedeného výrazu pro proud při beta--> 0. Tak jsem ji uvedl.

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2014 11:00 — Editoval miso16211 (22. 05. 2014 11:08)

obvod RLC seriovy

#2 22. 05. 2014 11:36 — Editoval Jj (22. 05. 2014 11:36) Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: zbytečné

#3 22. 05. 2014 11:43 — Editoval Jj (22. 05. 2014 11:54)

Re: obvod RLC seriovy

#4 22. 05. 2014 11:54

Re: obvod RLC seriovy

#5 22. 05. 2014 16:48

Re: obvod RLC seriovy

#6 22. 05. 2014 16:51

Re: obvod RLC seriovy

#7 22. 05. 2014 18:16

Re: obvod RLC seriovy

miso16211 napsal(a):

Zápatí