Matematické Fórum

tomson · 21. 05. 2014 18:06

Zdravím, chcel by som poprosiť o pomoc s úlohou:

Aká je stredná hodnota počtu rôznych čísel pri 37 kolách rulety (môže padnúť 37 rôznych čísel)?

Ďakujem

vnpg · 21. 05. 2014 20:14

↑ tomson:

Zdravím,
jako nejschůdnější se mi jeví následující postup: jako $X_k$ označíme náhodnou proměnnou, která popisuje počet různých čísel při $k$ kolech rulety. Najdeme rekurenční vztah mezi $\mathbb{E}[X_k]$ a $\mathbb{E}[X_{k-1}]$ a na základě toho vyjádříme $\mathbb{E}[X_{k}]$ jako funkci $k$ . A tím i získáme odpověď na otázku, jaká je hodnota $\mathbb{E}[X_{37}]$ .

tomson · 21. 05. 2014 22:12

↑ vnpg:

Takže šlo by to tým spôsobom, že ak si označím $p$ pravdepodobnosť, že mi v ďalšom kole padne iné číslo ako v predchádzajúcich, tak potom platí: $\mathbb{E}[X_k]=p(\mathbb{E}[X_{k-1}]+1)+(1-p)\mathbb{E}[X_{k-1}]$ , teda $\mathbb{E}[X_k]=\mathbb{E}[X_{k-1}]+p$

Ak áno, tak by som ešte potreboval pomôcť s vyjadrením tej pravdepodobnosti $p$

vnpg · 21. 05. 2014 23:30

↑ tomson:

Takto bychom mohli postupovat v případě, že by pravděpodobnost $p$ nezávisela na počtu různých čísel, která padla v prvních $k-1$ kolech. Tak tomu ale bohužel v našem případě není - pokud v prvních $k - 1$ kolech padlo řekněme $m$ různých čísel, potom máme pravděpodobnost $1 - m/37$ , že v $k$ -tém kole padne číslo, které do té doby nepadlo. Takže potřebujeme trochu jiný postup.

Můžeme vyjít z následujícího vztahu, který platí pro všechna celá čísla $k \geq 2$ a $m \geq 1$ :

$\mathbb{P}(X_k \geq m) = \mathbb{P}(X_{k-1} \geq m) + \mathbb{P}(X_{k-1} = m - 1) \left(1 - \frac{m - 1}{37} \right) \qquad \quad (1)$ .

Jeho platnost lze zdůvodnit celkem snadno: jev, kdy v prvních $k$ kolech padne alespoň $m$ různých čísel, nastane v jednom z následujících dvou vzájemně neslučitelných případů: (a) alespoň $m$ různých čísel padlo již v prvních $k-1$ kolech; (b) v prvních $k-1$ kolech padlo přesně $m-1$ různých čísel a v $k$ -tém kole padne některé z těch ostatních.

Dále použijeme následující výsledek: Je-li $Y$ náhodná proměnná s hodnotami v $\mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\}$ , pak lze střední hodnotu $Y$ vyjádřit následujícími dvěma způsoby:

$\mathbb{E}[Y] = \sum_{m = 1}^\infty m \mathbb{P} (Y = m)$ a $\mathbb{E}[Y] = \sum_{m = 1}^\infty \mathbb{P} (Y \geq m)$ .

A nyní již máme asi to nejtěžší za sebou: s pomocí obou uvedených výrazů pro střední hodnotu a vztahu $(1)$ odvodíme rekurenční vztah mezi $\mathbb{E}[X_k]$ a $\mathbb{E}[X_{k-1}]$ a další kroky jsou již otázkou poměrně snadných hrátek se symboly.

tomson · 22. 05. 2014 18:56

↑ vnpg:

Ďakujem ... nakoniec sa našlo iné riešenie, ktroé je snáď správné

Ak si definujeme funkciu $Y_{i}=\{1\ , ak \ padlo \ i-te \ cislo \ a \ 0 \ inak\}$

Potom platí, že $\mathbb{E}[X]=\sum_{i=1}^{37}\mathbb{E}[Y_{i}]$

pre všetky i=1,...,37 platí, že: $\mathbb{E}[Y_{i}]=\mathbb{P}(Y_{i}=1)=1-\mathbb{P}(Y_{i}=0)=1-({36}/{37})^{37}$

Takže platí, že $\mathbb{E}[X]=37(1-(36/37)^{37})\doteq23.57$

Tak dúfam, že to je v poriadku.

vnpg · 22. 05. 2014 19:52

Tak to je pěkné řešení. Popravdě jsem nečekal, že to jde takhle jednoduše ;-)

Jinak tím způsobem, který jsem naznačoval, by pro všechna $k \geq 2$ vyšlo $\mathbb{E}[X_k] = 1 + \frac{36}{37} \mathbb{E}[X_{k-1}]$ a odtud $\mathbb{E}[X_k] = 37 (1 - (36/37)^k)$ .

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2014 18:06

Stredná hodnota - ruleta

#2 21. 05. 2014 20:14

Re: Stredná hodnota - ruleta

#3 21. 05. 2014 22:12

Re: Stredná hodnota - ruleta

#4 21. 05. 2014 23:30

Re: Stredná hodnota - ruleta

#5 22. 05. 2014 18:56

Re: Stredná hodnota - ruleta

#6 22. 05. 2014 19:52

Re: Stredná hodnota - ruleta

Zápatí