Matematické Fórum

kryštof · 21. 05. 2014 20:48

Ahoj, mám takový problém: 30 želv, 12 terárií očíslovaných 1 až 12. a) Kolika způsoby lze želvy rozmístit do těchhle terárií a b) kolika způsoby je tam lze rozmístit tak, že v každém teráriu se nacházejí alespoň dvě?
Není tam nějak řečeno, jestli jsou ty želvy rozlišitelné, nebo ne, tak jsem to zkusil nejdřív pro želvy klonové. Vyšlo mi a) $P'(30,11)$ b) $P'(6,11)$ . To by snad mohlo být tak, ne? Pro rozlišitelné želvy to momentálně nedokážu vyřešit :( pomůže mi někdo?

kryštof · 21. 05. 2014 21:00

Teď mě napadlo, že a) pro rozlišitelné želvy by vlastně mohlo být 12^30, protože každé želvě vlastně přiřazujeme jeden ze 12 prvků.(?)

kryštof · 22. 05. 2014 20:44

?

jelena · 22. 05. 2014 23:56

Zdravím,

Pokud jsou želvy nerozlišitelné, tak 1. otázku (30 do 12 ter.) bych viděla na kombinaci s opakováním C´(30, 12).

2. otázka: alespoň 2 nerozlišitelné v teráriu - nejdřív do každého ter. umístím 2 želvy, potom jako kombinaci s opakováním rozmístím zbývajících 6 do 12 C´(6, 12).

Pokud jsou rozlišitelné a předpokládám, že některé ter. může být prázdné, tak také mám 12^30.

V případě, že žádné ter. nesmí být prázdné - zde se nějak zasekávám - zvolím 1. želvu (30 možností) a dám na jednu z 12 pozic, zvolím 2. želvu (29 možností) a dám na jednu z 11 pozic..., tak bych zaplnila první obsazení želvami (30*29*28...*12*11*10...). Zbývajících 18 bych už mohla umísťovat libovolně, tedy 12^18.

Snad bude alespoň kritika. Proč se na želvy nereaguje? :-)

zdenek1 · 23. 05. 2014 08:57

↑ jelena:

Proč se na želvy nereaguje?

Protože je pozdě v noci?

30 rozlišitelných želv umísťujeme do 12 rozlišitelných akvárií a žádné nesmí zůstat prázdné.

Nic lepšího než princip inkluze a exkluze mě nenapadlo.
libovolné rozmístění : ${12\choose0}\cdot12^{30}$
aspoň jedno prázdné: ${12\choose1}\cdot11^{30}$ (vyberu si to které je prázdné a do zbytku rozmístím želvy libovolně)
aspoň dvě prázdná: ${12\choose2}\cdot10^{30}$
atd.
aspoň 11 prázdných: ${12\choose11}\cdot1^{30}$

a podle PIE
$\sum_{k=0}^{11}(-1)^k\cdot {12\choose k}\cdot (12-k)^{30}$

jelena · 23. 05. 2014 10:15

↑ zdenek1:

:-) ne, večerka je až v 01:00 a budíček po 09:00. Téma je od 21.05.2014 (ale je pravda, že není nápadné, neukáže se v tématech bez reakce, pokud si autor tématu odpovídá sám). A statistiky ukazuji, že je převaha specialistů na kočky.

Myslíš, že bych svou metodou na výsledek (alespoň jedna rozlišitelná želva) nedošla?

V případě, že žádné ter. nesmí být prázdné - zde se nějak zasekávám - zvolím 1. želvu (30 možností) a dám na jednu z 12 pozic, zvolím 2. želvu (29 možností) a dám na jednu z 11 pozic..., tak bych zaplnila první obsazení želvami (30*29*28...*12*11*10...). Zbývajících 18 bych už mohla umísťovat libovolně, tedy 12^18.

Pokud bych chtěla mít alespoň 2 rozlišitelné, tak ještě celý postup zopakuji pro dalších 12. Děkuji.

zdenek1 · 23. 05. 2014 10:46

↑ jelena:
Jenže to počítáš některá rozmístění vícekrát.
Např. v jednom rozmístění vybereš želvu 1 do ter. 1 a pak při libovolném rozmisťování zbytku dáš želvu 13 také do ter. 1.

V jiném ti želva 13 padne do ter. 1 při výběru 1. želvy a želva 1 ti přijde do zbytku a při libovolném rozmisťování zase padne do 1 a když všechny ostatní želvy budou stejně, máš stejné rozmístění, které počítáš dvakrát.

A to jsem uvažoval jen o dvou želvách. Může se ti to stát i s vícero želvami.

Možná by stálo za to kontaktovat p. Kováře.

jelena · 23. 05. 2014 12:06

↑ zdenek1:

děkuji. Želvy mám všechny rozlišitelné, "alespoň jedna rozlišitelná želva" to jsem myslela, že v každém ter. je alespoň jedna želva. Špatně jsem napsala, pořád mám 30 různých želv. Potom by to šlo?

Jelena (s opravou vyznačenou červeně) napsal(a):
V případě, že žádné ter. nesmí být prázdné - zde se nějak zasekávám - zvolím 1. želvu (30 možností) a dám na jednu z 12 pozic, zvolím 2. želvu (29 možností) a dám na jednu z 11 pozic..., tak bych zaplnila první obsazení želvami (30*29*28...*12*11*10...). Zbývajících 18 bych už mohla umísťovat libovolně, tedy 12^18.

Pokud bych chtěla mít alespoň 2 různé želvy v každém terárií, tak ještě celý postup zopakuji pro dalších 12. Děkuji.

kolega Zdeněk napsal(a):
Možná by stálo za to kontaktovat p. Kováře.

:-) silný tým ve složení "inteligent, co chaos zvládá" a "vrcholný projev pořádkumilovnosti" nedokázal zahnat 30 želv do 12 terárií. ještě trošku podiskutujeme a povoláme.

kryštof · 24. 05. 2014 10:50

↑ jelena:
Díky za odpověď :) Takže pro klonové želvy mi to vyšlo dobře a pro rozlišitelné mi za a) vyšlo taky dobře, tak to je super. Ten princip inkluze a exkluze se musím ještě naučit, ale dík za všechny příspěvky.

jelena · 24. 05. 2014 13:39

↑ kryštof:

také děkuji. Kolega Zdeněk tuto část nekritizoval, tak předpokládám, že byla dobře. Zůstala nám část: máme $n$ rozlišitelných želv, $m$ terárií, požadujeme želvy umístit tak, aby v každém teráriu bylo alespoň $k$ želv (+podmínky pro m, n, k).

↑ zdenek1: můžeme takovou formulaci úlohy považovat za zajímavou? potom bych založila téma (s původní úlohou o 30 želvách + zobecnění) a poprosila i pana Kováře. Jinak úlohy o želvách jsou odsud a to, co jsme řešili, byly motivační úlohy bez řešení a výsledků.

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2014 20:48

želvy

#2 21. 05. 2014 21:00

Re: želvy

#3 22. 05. 2014 20:21 — Editoval kryštof (22. 05. 2014 20:39) Příspěvek uživatele kryštof byl skryt uživatelem kryštof. Důvod: blbost

#4 22. 05. 2014 20:44

Re: želvy

#5 22. 05. 2014 23:56

Re: želvy

#6 23. 05. 2014 08:57

Re: želvy

#7 23. 05. 2014 10:15

Re: želvy

#8 23. 05. 2014 10:46

Re: želvy

#9 23. 05. 2014 12:06

Re: želvy

Jelena (s opravou vyznačenou červeně) napsal(a):

kolega Zdeněk napsal(a):

#10 24. 05. 2014 10:50

Re: želvy

#11 24. 05. 2014 13:39

Re: želvy

Zápatí