Matematické Fórum

lucia1234

Ahojte, potrebovala by som pomôcť so zadaním $\sum_{0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}\cdot (x-1)^{2n}}{(n+1)\cdot 4^{n}}$
ako to prepísať do tvaru $\sum_{0}^{\infty }an(x-a)$
ďakujem

Formol · 23. 05. 2014 14:30 — Editoval Formol (23. 05. 2014 14:31)

↑ lucia1234:
Ahoj,
předpokládám, že máš na mysli převod do tvaru:
$\sum_{n=0}^{\infty }a_n(x-a)^n$

Ono je to jednoduché. Nejprve si přepíšeš zadání:
$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{(n+1)\cdot 4^{n}}\cdot (x-1)^{2n}$ (*)

Předpokládám, že ti tam vadí to 2n, jinak by to bylo směšně jednoduché. Ono to ani pak není těžké, prostě si na každé liché místo dáš nulu. Potřebuješ tedy něco, co bude vracet nulu pro lichý index a jedničku pro sudý index. To získáš následujícím způsobem:
$z(k) = \frac{1+(-1)^k}{2}$

Potom si už jen rovnici (*) přeindexuj tak, aby šla, obrazně řešeno, po polovinách. Vynásobením každého prvku z(k) si pak vlastně všechny liché prvky vynuluješ.

lucia1234 · 02. 07. 2014 11:31

stále mi to nejak nie je jasné , mohla by som poprosiť o to prepísanie ? a inak nejaká ďalšia možnosť nie je ? ↑ Formol:

Rumburak

↑ lucia1234:

Ahoj.

Posloupnost $(z_k)$ , kde $z_k = z(k) = \frac{1+(-1)^k}{2}$ , nabývá hodnot $0$ pro $k$ lichá a $1$ pro $k$ sudá.
Dále: číslo $-1$ můžeme napsat jako $\mathrm{i}^2$ , takže $(-1)^n =\mathrm{i}^{2n}$ a celkem tedy

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}\cdot (x-1)^{2n}}{(n+1)\cdot 4^{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{\mathrm{i}^{2n}\cdot (x-1)^{2n}}{(\frac {2n}{2}+1)\cdot 2^{2n}} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{\mathrm{i}^{2n}}{(\frac {2n}{2}+1)\cdot 2^{2n}}\cdot (x-1)^{2n} = \\= \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{z_{2n}\cdot \mathrm{i}^{2n}}{(\frac {2n}{2}+1)\cdot 2^{2n}}\cdot (x-1)^{2n} =\sum_{k = 0}^{\infty } \frac{z_{k}\cdot \mathrm{i}^{k}}{(\frac {k}{2}+1)\cdot 2^{k}}\cdot (x-1)^{k} = ...$

V poslední mocninné řadě jsou tedy členy s lichými indexy $k$ rovny nule.

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2014 09:02 — Editoval lucia1234 (23. 05. 2014 09:03)

Mocninove rady

#2 23. 05. 2014 14:30 — Editoval Formol (23. 05. 2014 14:31)

Re: Mocninove rady

#3 02. 07. 2014 11:31

Re: Mocninove rady

#4 02. 07. 2014 12:34 — Editoval Rumburak (02. 07. 2014 12:37)

Re: Mocninove rady

Zápatí