Matematické Fórum

kukla · 10. 02. 2009 17:28 — Editoval kukla (10. 02. 2009 17:29)

Dobrý den.

Mám zde několik příkladů, u kterých si nejsem jistý svým postupem. Poprosil bych tedy o kontrolu správnosti.

1)
$(log_5x)^2-2log_5 x=-1$
aplikuju substituci:
$log_5x=a$
spočítám kvadratickou rovnici:
... $D=0$ takže mám jeden kořen $a = 1$ a tedy výsledek je $x = 5$

2)
$(log_3x)^2-3log_3x-10=0$
opět substituce:
$log_3x=a$
spočítám kvadratickou rovnici:
... $D = 49$ pak $a_1=5$ a $a_2=-\frac{5}{2}$ , dosadím: $log_3x=5$ a $log_3x=-\frac{5}{2}$ takže x vyjde $3^5$ a $3^\frac{-5}{2} =\sqrt{\frac{1}{3^5 }}$

Tento příklad mi dle výsledků nevychází - konkrétně těch $-\frac{5}{2}$ je dle výsledků špatně.

3)
$\frac{3+logx}{2-logx}=4$
$3+logx=8-4logx$
$logx^5=5$
$x^5=10^5$
$x=10$

Tento příklad je dle mého dobře, ptž, když dosadím za x 10, tak se obě strany rovnají.

4) Mám zlogaritmovat toto:
$\sqrt{(8ax^2-2xr)}$
můj výsledek:
$\frac{1}{2}[(log8+loga+2logx)-(log2+logx+logr)]$
Zde by ještě snad šlo vytknout to x.

Předem děkuji za kontrolu.

halogan · 10. 02. 2009 17:46

Obecně: Používej Vietovy vzorce - dramaticky urychlí řešení.

1) Správně

2) Přes Vietovy vzorce
$a^2 - 3a - 10 = (a - 5)\cdot (a + 2) \nl a_1 = 5 \nl a_2 = -2$

3)
Tady bacha, polož podmínky. Když bude x = 100, tak rovnice nemá řešení (to není tento případ, ale mohl by být).

A k tomu řešení - ano, rovnají se, ale to neznamená, že tam také není jiný kořen.

Osobně mi to řešení přijde takové... zvláštní.

$3 + \log x = 8 - 4\cdot \log x \nl 5\cdot \log x = 5 \nl \log x = 1 \nl 10^1 = x$

4) Tady nějak nechápu, o co jde.

Když zlogaritmuju, tak akorát předsadím 1/2, můžu vytknout 2x (a rozdělit na dva logaritmy), ale jinak víc mě nic nenapadá.

Mě kdyžtak někdo opravte.

gadgetka · 10. 02. 2009 17:50

U druhého příkladu jsi špatně vyřešil kořeny kvadratické rovnice

a²-3a-10=0
a_1,2=(3±√49)/2=(3±7)/2
a_1=5
a_2=-2

gadgetka

třetí mi vyšel taky deset, jen jsem rovnici od třetího kroku (řádku) řešila jednodušeji:
$5\log x=5\nl \log x=1\nl x=10^1\nlx=10$

kukla · 10. 02. 2009 18:36 — Editoval kukla (10. 02. 2009 18:39)

2) Nj přehlédnul jsem se a počítal že 3 - 7 = -5 :-D

4) Jde o to, že pokud mám násobení, tak to můžu rozepsat jako dva logaritmy, které se budou sčítat....nebo abych to lépe vyjádřil: $log_a(x*y)=log_ax+log_ay$ , podobně je to při dělení: $log_a(\frac{x}{y})=log_ax-log_ay$ a ještě poslední "vzoreček", který jsem také použil: $log_a(x^y )=y*log_ax$ . Takže dle těchto "vzorečků" bych to měl rozepsat.

Jinak děkuji za pomoc.

halogan · 10. 02. 2009 23:17

↑ kukla:

To sice ano, ale nezapomínejte, že tam máte rozdíl! A s tím moc nenaděláte.

kukla · 11. 02. 2009 19:52 — Editoval kukla (11. 02. 2009 19:52)

Dobrý večer. Mám zde ještě tři příklady, u kterých bych poprosil o nastínění postupu.

1)
$2log_5x=4-log_5(\frac{x}{25})$
a takto jsem to počítal:
$2log_5x+log_5(\frac{x}{25})=4$
$log_5\frac{x^3}{25}=4$
$\frac{x^3}{25}=5^4$
$x^3=15625$
$x=25$

Je to správně?

2)
$2logx-\frac{1}{2}logx^3+log\sqrt[4]{x^5}+log2x-log3=0$

3)
log x o základu 16 + log x o základu 4 + log x o základu 2 = 7
//nevím, jak zapsat pomocí LaTeXu dvojciferný spodní index

Děkuji.

Chrpa · 11. 02. 2009 20:26 — Editoval Chrpa (11. 02. 2009 20:50)

↑ kukla:
Píše se to takto v Texu \log_{16} x
$\log_{16} x$

Pro př. 3) můžeš použít tento vztah: $\log_b c=\frac{\log\,c}{\log\,b}$
Tzn:
$\log_{16} x=\frac{\log\,x}{\log\,16}=\frac{\log\,x}{4\log\,2}$