Matematické Fórum

hans66 · 23. 05. 2014 16:29

Mám diferenciální rovnici prvního řádu:

Př.: $y'-y=e^{-x}\cdot x\cdot y$

$\frac{y'-y}{y}=x\cdot e^{-x}$

$\frac{y'}{y}-1=0$

ale dal necim jak mam pokracovat ...koukal jsem na MAW ale nevim jak dal

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/55371_MAW.PNG

Jj · 23. 05. 2014 18:45

↑ hans66:

Dobrý den, řekl bych, že v případě této rovnice můžete dále postupovat separací proměnných:

$\frac{y'}{y}-1=x\cdot e^{-x}$
$\frac{y'}{y}=1+x\cdot e^{-x}$
$\frac{dy}{y}=(1+x\cdot e^{-x})dx$
$\int \frac{dy}{y}=\int (1+x\cdot e^{-x})dx$

a to už dáte.

JirkaV · 23. 05. 2014 19:01

↑ hans66:
Stačí rovnici pouze separovat, jako MAW.
$y'=(e^{-x}x+1)\cdot y \\ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=(e^{-x}x+1) \\ \frac{1}{y}dy=(e^{-x}x+1)dx \\ \int\frac{1}{y}dy = \int(e^{-x}x+1)dx$

hans66 · 23. 05. 2014 21:42 — Editoval hans66 (23. 05. 2014 21:44)

↑ Jj:
↑ JirkaV:

Dobrý den, postupuji takto správně? nebo výsledek je jen:

$y=e^{-xe^{-x}-e^{-x}+x}C$

jeste pro podmínku: $y(0)=1$ by to bylo $1=e^{-1}\cdot C$ ? výsledek by měl být
$y=e^{x-xe^{-x}-e^{-x}+2}$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/73756_ddd.jpg

JirkaV · 23. 05. 2014 22:01

↑ hans66:

Výsledek je jen $y=e^{-xe^{-x}-e^{-x}+x}C$ . To co děláte vy, se nazývá metoda variace konstant, která není třeba u této separovatelné rovnice.

A úloha $y(0)=1$ se nazývá cauchyovská počáteční úloha. A jde o to, jen najít partikulární řešení odpovídající daným hodnotám. Takže za $x$ dosadíme $0$ a za $y$ dosadíme $1$ .

Výsledek by měl vyjít $c=e$ . Toto $c$ pak dosadíme do obecného řešení a máme partikulární řešení splňující cauchyovskou počáteční úlohu.

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2014 16:29

Diferencialni rovnice 1. řádu

#2 23. 05. 2014 18:45

Re: Diferencialni rovnice 1. řádu

#3 23. 05. 2014 19:01

Re: Diferencialni rovnice 1. řádu

#4 23. 05. 2014 21:42 — Editoval hans66 (23. 05. 2014 21:44)

Re: Diferencialni rovnice 1. řádu

#5 23. 05. 2014 22:01

Re: Diferencialni rovnice 1. řádu

Zápatí