Matematické Fórum

Makakpo

Ahojte, narazil som na priklady s ktorymi si vobec neviem rady. Znie:
Najdite a dokazte, ze na danej mnozine je dany funkcionalny rad rovnomerne konvergentny.
a, $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{x^4 + n^2}$ b, $\sum_{n=0}^{\infty } \frac{x}{1+n^4 x^2}$

Skusal som viacero postupov no nie som si isty spravnostou, asi to budem mat zle a dost tomu ani nerozumiem ako sa to robi. Nejaky navod?

Brano · 17. 05. 2014 22:56

$\frac{1}{x^4 + n^2}\le\frac{1}{n^2}$
$\frac{x}{1+n^4 x^2}\le\frac{1}{2n^2}$

Makakpo · 17. 05. 2014 23:01

ten pvy vztah som si neuvedomil ale je mi jasny, ten druhy mi celkom jasny nie je, mohli by ste to rozpisat? a dalsia otazka ako mi tieto nerovnosti pomozu s mojou ulohou? nejako mi stale uteka pointa o co vlastne ide.

Brano · 17. 05. 2014 23:17

ten druhy vztah si roznasob, uprac na jednu stranu a uprav na uplny stvorec.

a co vies vlastne o rovnomernej konvergencii radov? poznas porovnavacie kriterium?

Makakpo

poznam d albertovo kriterium, cauchyho kriterium a viem co je polomer konvergencie .. ale nie moc dobre rozumiem zadaniu tejto ulohy a nie som si isty ako na to. a vobec netusim ako ten druhy treba roznasobit aby som dostal tu rovnost, nemozete mi trochu napovedat?

Brano · 18. 05. 2014 00:33 — Editoval Brano (18. 05. 2014 00:35)

$\frac{x}{1+n^4 x^2}\le\frac{1}{2n^2}$
$2n^2x\le 1+n^4 x^2$
$0\le 1-2n^2x +n^4x^2=(1-n^2x)^2$

porovnavacie kriterium, alebo inak Weierstrassovo si mozes pozriet tu
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_M-test
tie nerovnosti hovoria ako mas volit to $M_n$

PS: este si vlastne treba uvedomit, ze vlavo v tych povodnych nerovnostiach co som pisal mozes dat absolutnu hodnotu, ale to je trivialne.

Makakpo

no dobre ale to je uz odpoved na otazku? nasli sme a dokazali ze na danej mnozine je funkcionalny rad rovnomerne konvergentny?

Brano · 18. 05. 2014 22:54 — Editoval Brano (18. 05. 2014 23:56)

teraz nechapem nejak extra otazku. cital si si ten odkaz?
ja som ti nenapisal kompletne riesenie krok za krokom (ocividne) ale dost na to aby ti to stacilo dosadit - a to je to na co si sa pytal: navod.

odpoved je, ze oba rady konverguju rovnomerne a absolutne na celom R.

ak nieco nie je jasne, tak sa spytaj nejak konkretnejsie.

Rumburak

↑ Makakpo:

vobec netusim ako ten druhy treba roznasobit aby som dostal tu rovnost, nemozete mi trochu napovedat?

Ahoj.

V první fázi bude užitečné k obecné hodnotě sumačního indexu $n$ naléz hodnotu $M_n = \sup_{x \in \mathbb{R}} \left| \frac{x}{1+n^4 x^2}\right|$ .

Řada

(1) $\sum_{n=0}^{\infty}M_n$

tedy bude majorantní řadou k řadám

(2) $\sum_{n=0}^{\infty }\left| \frac{x}{1+n^4 x^2}\right| , \sum_{n=0}^{\infty } \frac{x}{1+n^4 x^2}$ .

Bude-li (1) konvergentní, co z toho vyplyne pro řady (2) ?

Pokud by (1) nebyla konvergentní, potom nutno přistoupit k nějakým jemnějším metodám.

Makakpo

co je to Mn ? a co s tym ma spolocne to supremum? my chceme vlastne zistit pre ake x dosahuje rad maximum? preco?

jarrro · 23. 05. 2014 19:40

veď čítaj čo tu ľudia píšu aj posielajú ak sa dá kladný funkcionálny rad ohraničiť kladným konvergentným radom tak rovnomerne konverguje

JirkaV · 23. 05. 2014 20:00

↑ Makakpo:

To co ti napovídají se nazývá Weierstrassovo kritérium. Zda-li ho znáš, tak návod co napsal ↑ Brano: ti bohatě postačuje k vyřešení konvergence.

Makakpo

praveze ho moc ani neznam, nemohli by ste mi poslat nejaky link kde je o tom Weierstrassovom kritériu nieco?

Brano · 23. 05. 2014 21:36

Makakpo napsal(a):
praveze ho moc ani neznam, nemohli by ste mi poslat nejaky link kde je o tom Weierstrassovom kritériu nieco?

to oranzove podciarknute v mojom prispevku je linka a da sa na to dokonca aj kliknut ...

Brano napsal(a):
...

porovnavacie kriterium, alebo inak Weierstrassovo si mozes pozriet tu
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_M-test

JirkaV · 23. 05. 2014 21:40

Stačí danou řadu vhodně omezit řadou, kterou znáš a víš, že je konvergentní (majorantní řada) . Pak i tvá řada (minorantní) bude konvergentní.

Matematické Fórum

#1 17. 05. 2014 22:30 — Editoval Makakpo (17. 05. 2014 22:33)

konvergencia, priklady

#2 17. 05. 2014 22:56

Re: konvergencia, priklady

#3 17. 05. 2014 23:01

Re: konvergencia, priklady

#4 17. 05. 2014 23:17

Re: konvergencia, priklady

#5 17. 05. 2014 23:20 — Editoval Makakpo (17. 05. 2014 23:31)

Re: konvergencia, priklady

#6 18. 05. 2014 00:33 — Editoval Brano (18. 05. 2014 00:35)

Re: konvergencia, priklady

#7 18. 05. 2014 11:33 — Editoval Makakpo (18. 05. 2014 11:34)

Re: konvergencia, priklady

#8 18. 05. 2014 22:54 — Editoval Brano (18. 05. 2014 23:56)

Re: konvergencia, priklady

#9 19. 05. 2014 11:35 — Editoval Rumburak (19. 05. 2014 11:40)

Re: konvergencia, priklady

#10 23. 05. 2014 18:27 — Editoval Makakpo (23. 05. 2014 18:29)

Re: konvergencia, priklady

#11 23. 05. 2014 19:40

Re: konvergencia, priklady

#12 23. 05. 2014 20:00

Re: konvergencia, priklady

#13 23. 05. 2014 21:08 — Editoval Makakpo (23. 05. 2014 21:08)

Re: konvergencia, priklady

#14 23. 05. 2014 21:36

Re: konvergencia, priklady

Makakpo napsal(a):

Brano napsal(a):

#15 23. 05. 2014 21:40

Re: konvergencia, priklady

Zápatí