Matematické Fórum

mmartina.mag · 24. 05. 2014 00:18

Ako mám prosím vás dokázať že fukcia $\frac{-2}{x-1}$ je rastúca na intervaloch $(-\infty ,-1) a (1,\infty )$

misaH · 24. 05. 2014 00:25 — Editoval misaH (24. 05. 2014 00:54)

↑ mmartina.mag:

Povedala by som, že podľa definície.

Si si istá, že to platí?

Keď totiž zvolíš pre dosadenie postupne čísla 0 A -0,5 (0 je väčšia), tak aj f (0) bude väčšie ako f (-0,5).

Pritom 0 ani -0,5 nepatria do Tvojich intervalov.

To znamená, že funkcia rastie aj mimo Tvojich intervalov.

(Ak som sa nepomýlila).

maver · 24. 05. 2014 00:32 — Editoval maver (24. 05. 2014 01:18)

↑ misaH:

buď si přímo představíte (pamatujete nebo tabulky) průběh funkce tohoto typu v x,y soustavě nebo si prostě dosaďte pár bodů v požadovaných intervalech: důkaz rostoucí fce: je-li x1 < x2 pak i f(x1) < f(x2)

misaH · 24. 05. 2014 00:52

↑ maver:

Ahoj. To nemusí stačiť, funkcia môže byť rastúca aj mimo uvedených intervalov.

maver · 24. 05. 2014 01:01 — Editoval maver (24. 05. 2014 01:02)

↑ misaH:
to jistě, ale na to se v zadání neptají, takže proč by se zbytečně dřela :)

PS: A v zadání úlohy nebyl dotaz zda v R - pak by mohla být varianta (obecně řečeno), že fce by někde rostla a někde klesala a potom by se nemohl učinit obecný závěr.

misaH · 24. 05. 2014 01:06 — Editoval misaH (24. 05. 2014 01:12)

↑ maver:

Myslím, že dôkaz sa dá robiť len všeobecne. Skúšanie konkrétnych dvojíc nestačí.

Zvolíme x1 A x2 tak, že napr. x1 je väčšie ako x2 A zistíme interval, v ktorom platí rovnaká nerovnosť aj pre funkčné hodnoty.

Na ňom funkcia rastie.

maver · 24. 05. 2014 01:14 — Editoval maver (24. 05. 2014 01:20)

↑ misaH:

Podle mého odpověď je:
Funkce je v zadaných intervalech rostoucí, jde o hyperbolu s asymptotou v bodě 1.
Vždy se musí odpovídat na zadané intervaly a teprve pokud nejsou zadány, pak obecně v R, Z, N, atd.
Mimochodem i to dosazení do intervalů, na které se neptají, to dokazuje - viz tvůj příspěvek v 00:25

JirkaV · 24. 05. 2014 06:28

↑ mmartina.mag:

Dobrý den,

dokázat se to da přímo z definice. Vezmeme dva libovolne body nalezici danému intervalu a zjistíme zda roste, i klesá. Pokud se nás netají obecne na $\mathbb{R}$ či na jiném ciselnem oboru, tak je třeba vyšetřit pouze na zadaných intervalech a nikde jinde není třeba znát monotónnost. :-)

denksa.zuz · 24. 05. 2014 07:58

Nie bolo tam iba toto napisane↑ maver:

denksa.zuz · 24. 05. 2014 08:00

↑ JirkaV: dakujem :)

misaH · 24. 05. 2014 08:51

↑ maver:

OT: Pekná finta.

Rumburak · 24. 05. 2014 12:12

Není těžké ukázat, že platí:

(T) Druh monotonie funkce na určitém intervalu se změní na opačný, když funkci vynásobíme zápornou konstantou.

(Předpokládám, že je srozumitelné, co je druhem monotonie míněno a které druhy nonotonie pokládáme
za navzájem opačné.)

Snadno nahlédneme, že funkce $u \mapsto \frac{1}{u}$ je klesající na každém z intervalů $(-\infty , 0) , (0,+\infty )$ .

Substitucí $u = x-1$ dostáváme, že funkce $x \mapsto \frac{1}{x-1}$ je klesající na každém z intervalů
$(-\infty , 1) , (1,+\infty )$ .

Nyní použijeme tvrzení (T).