Matematické Fórum

Makakpo

Ahojte, ako mam vypocitat tuto limitu: lim x do nuly $\frac{\sqrt[3]{(x+1)}-1}{x}$ neviem si pomoct, pomozte prosim. Viem ze to ma byt $1/3$ ale neviem sa k tomu dopracovat a uz som skusal vsetko mozne.

Cheop · 23. 05. 2014 09:47

↑ Makakpo:
A zkoušel jsi L'Hospitalovo pravidlo?

jelena · 23. 05. 2014 09:57

↑ Cheop:

Zdravím, volila bych raději rozšíření do vzorce $a^3-b^3$ (primárně volíme metody ZŠ přeci). Souhlasíš?

Makakpo

LP som neskusal, idem skusit ci mi to pojde a to rozsirenie to sa ako robi?

misaH · 23. 05. 2014 10:07 — Editoval misaH (23. 05. 2014 10:08)

↑ Makakpo:

Doplnila by som čitateľa a menovateľa tak, aby v čitateli vzniklo

$A^3-B^3$ . Treba využiť vzorec $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$

x sa vykráti a po dosadení $x=0$ vyjde Tvoj výsledok.

A je tá tretia odmocnina a B je číslo 1.

Rozšíriš zlomok tou dlhou zátvorkou.

Rumburak · 23. 05. 2014 10:07

↑ Makakpo:

Ahoj. Neni od věci si uvědomit, že $\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{(x+1)}-1}{x}$ je rovna (podle definice derivace)
derivaci funkce $t \mapsto \sqrt[3]{t}$ v bodě $t = 1$

Makakpo

pomocou LP pravidla mi vysledok vysiel na tri kroky, takze dik, super rada.. len by som este rad vedel ako vyuzit ten vzorec $a^3-b^3=(a^2+ab+b^3)(a-b)$ lebo toto ma napadlo ako prve ale nejako mi to nevychadzalo.

Makakpo · 23. 05. 2014 10:11

Lopitolovo pravidlo viem, ale ten druhy postup mi nie je celkom jasny.

Rumburak · 23. 05. 2014 10:17

↑ Makakpo:

Zlomek, z něhož počítáme limitu, se rozšíří výrazem $(a^2+ab+b^3)$ , kde $a = \sqrt[3]{(x+1)}, b = 1$ .

Makakpo

a ako vyriesit limitu, lim do minus nekonecna $x((x^2+1)^{0.5} - (x^2-1)^{0.5})$ toto pocitam uz desiaty krat a furt to iba roznasobujem jednickou a stale nic ma to byt $-1$ a ja som sa vzdy dostal ku nejakemu nezmyslu alebo ku $-1/4$ , skusal som uz vsetko, aj lopitalove pravidlo aj vsetko proste a nevychadza to

jarrro · 23. 05. 2014 11:37 — Editoval jarrro (23. 05. 2014 11:38)

↑ Makakpo:rozšír zátvorkou ale s plusom potom budeš mať v čitateli 2x a v menovateli súčet odmocnín potom už stačí len skrátiť x a uvedomiť si že x je v okolí mínus nekonečna záporné

Makakpo

dostal som sa po vyraz $\frac{2}{\sqrt{1+1/x^2}+\sqrt{1-1/x^2}}$ a ked dosadim za $x$ minus nekonecno tak mi vychadza vyraz $2/(1+1)=2/2=1$ ale ma to vychadzat $-1$ tak kde je chyba?

jarrro · 23. 05. 2014 13:23

prečítaj si posledný riadok môjho predchádzajúceho príspevku

Makakpo · 23. 05. 2014 13:27

precital ale tak mne po uprave vyslo toto a sice sa blizime do minus do nekonecna ale hocico na druhu je predsa kladne nie?

jarrro · 23. 05. 2014 14:17

v okolí mínus nekonečna platí
$\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=\frac{2}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$
pretože $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$
a v našom prípade ide x do mínus nekonečna teda je záporné

Makakpo

a co mi to pomoze ked ten zlomok rozsirim pomocou vztahu $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ ? Dostanem lim x iduce do nuly $\frac{x}{((x+1)^2)^{1/3}+(x+1)^{1/3}+1}$ a to je este horsie lebo v citateli mam nulu, v menovateli nejake velke cudo a co stym dalej? pomocou lopitala to vyslo hned.

jarrro · 24. 05. 2014 18:10

$\frac{\color{red}1\color{black}}{((x+1)^2)^{1/3}+(x+1)^{1/3}+1}$ ↑ Makakpo:

Makakpo

urcite tam bude jednicka? po rozsireni to co mam pod odmocninou je predsa $x+1$ takze jednicka sa zrusi a ostane x

jarrro · 24. 05. 2014 19:29

↑ Makakpo:ale sa skráti s menovateľom po rozšírení je
$\frac{x}{\color{red}x\color{black}$\(\(x+1$^2\)^{1/3}+$x+1$^{1/3}+1\)}$

Makakpo · 24. 05. 2014 20:02

ach ano prepocital som to a mate pravdu, dakujem za rady :)

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2014 09:38 — Editoval Makakpo (23. 05. 2014 09:43)

tazka limita priklad

#2 23. 05. 2014 09:47

Re: tazka limita priklad

#3 23. 05. 2014 09:57

Re: tazka limita priklad

#4 23. 05. 2014 10:01 — Editoval Makakpo (23. 05. 2014 10:07)

Re: tazka limita priklad

#5 23. 05. 2014 10:07 — Editoval misaH (23. 05. 2014 10:08)

Re: tazka limita priklad

#6 23. 05. 2014 10:07

Re: tazka limita priklad

#7 23. 05. 2014 10:09 — Editoval Makakpo (23. 05. 2014 10:09)

Re: tazka limita priklad

#8 23. 05. 2014 10:09 Příspěvek uživatele Cheop byl skryt uživatelem Cheop. Důvod: Již není třeba

#9 23. 05. 2014 10:11

Re: tazka limita priklad

#10 23. 05. 2014 10:17

Re: tazka limita priklad

#11 23. 05. 2014 10:44 — Editoval Makakpo (23. 05. 2014 10:58)

Re: tazka limita priklad

#12 23. 05. 2014 11:37 — Editoval jarrro (23. 05. 2014 11:38)

Re: tazka limita priklad

#13 23. 05. 2014 12:15 — Editoval Makakpo (23. 05. 2014 12:35)

Re: tazka limita priklad

#14 23. 05. 2014 13:23

Re: tazka limita priklad

#15 23. 05. 2014 13:27

Re: tazka limita priklad

#16 23. 05. 2014 14:17

Re: tazka limita priklad

#17 24. 05. 2014 17:43 — Editoval Makakpo (24. 05. 2014 17:52)

Re: tazka limita priklad

#18 24. 05. 2014 18:10

Re: tazka limita priklad

#19 24. 05. 2014 18:16 — Editoval Makakpo (24. 05. 2014 18:16)

Re: tazka limita priklad

#20 24. 05. 2014 19:29

Re: tazka limita priklad

#21 24. 05. 2014 20:02

Re: tazka limita priklad

Zápatí