Matematické Fórum

hans66 · 20. 05. 2014 22:08 — Editoval hans66 (21. 05. 2014 12:30)

ahoj, chtěl bych vás poprosit jak mám s tímto příkladem pokračovat? děkuji za rady :)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/16441_int1.jpg

jelena · 21. 05. 2014 13:38

Zdravím,

pokračovat budeš užitím Fubini. věty o převodu dvojného integrálu na dvojnásobný (např. v odkazu). Zde je dobré ještě uvážit jak zvolit orientaci obrázku - tak jak máš (a vnitřní funkce bude po dy), potom budeš oblast dělit na 2 pravoúhlé trojúhelníky, jak jsi naznačil.

Pokud dáš orientaci obrázku otočeno o 90 stupňů a vnitřní funkce bude po dx, potom je výpočet o něco pohodlnější, ovšem potřebuješ své přímky zapsat ve tvaru $x=f(y)$ . Něco najdeš tady (ale teď je více podobných sbírek). V čem konkrétně vidíš problém, že nejde pokračovat? Děkuji.

hans66 · 21. 05. 2014 21:17 — Editoval hans66 (21. 05. 2014 21:17)

↑ jelena: spíš moc nevidím jak stanovit meze integrálů :-(

bohužel nejsem zas tak dobrý matematik.. z definic toho bohuzel moc nepochopim...

$\int_{-1}^{\frac{y+4}{3}}\int_{-1}^{-3}y+\frac{1}{(1-6x+2)^{3}}$

$\int_{-1}^{3x+6}\int_{-1}^{-3}y+\frac{1}{(1-6x+2)^{3}}$

Je to takto nebo to mám špatně?

jelena · 21. 05. 2014 22:22 — Editoval jelena (22. 05. 2014 10:33)

↑ hans66:

v odkazu jsou i vzorové příklady.

$\int_{-1}^{\frac{y+4}{3}}\int_{-1}^{-3}y+\frac{1}{(1-6x+2)^{3}}$

říká, že obrazec, přes který integruješ (trojúhelník), je omezen tak, že na ose y vyznačíš $y=-3$ a $y=-1$ a v tomto pásu vystřihneš trojúhelník pod přímkou $x=\frac{y+4}{3}$ a nad přímkou $x=-1$ atd. Přeci nic takového nemáš na obrázku.

Zkus nejdřív popsat tak, že úsečku na ose x rozdělíme na intervaly:
x je od -4 do -1, pod kterou přímkou y=... a nad kterou přímkou y=... leží pravoúhlý trojúhelník AB(-1)?
x je od -1 do 0 pod kterou přímkou y=... a nad kterou přímkou y=... leží pravoúhlý trojúhelník (-1)BC?

(-1) jsem označila bod na ose x, u kterého máš -1, označ si ho třeba jiným písmenkem. Tak nám vzniknou 2 integrály, přes které budeme integrovat.

Druhá varianta - otočený obrázek, kde y bude na intervalu od -3 do 0 a trojúhelník ABC bude pod přímkou x=... a nad přímkou x=... Vidíš - zde nedělíme na pravoúhlé trojúhelníky.

Edit: ještě doplním, že jsem se nevěnovala, že samotný zápis integrálu není korektní z pohledu označení proměnných po kterých se integruje a v jakém pořadí, to ještě doplníme. Zatím ale je nutné si ujasnit popis oblasti. Dobré je si vzpomenout, jak se popisovala oblast pro určení obsahu obrazce při užití určitých integrálů (Z MA1).

hans66 · 22. 05. 2014 22:42

↑ jelena:
Dobrý den, tak jsem se snazil to nejak pochopit...
poprřípadě jestli to je spatně slo by to napsat "po lopatě" kam které meze dosadit?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/91273_intint.jpg

hans66 · 22. 05. 2014 23:37

↑ jelena:slo by to i takto?

$\int_{-3}^{0}dy \int_{\frac{y-6}{3}}^{\frac{3y-4}{3}}y+\frac{1}{(1-6x+2y)^{3}}dx$

jelena · 23. 05. 2014 00:23 — Editoval jelena (23. 05. 2014 00:31)

↑ hans66:

Zdravím, ↑ příspěvek 5:, už skoro dobře - jen pro pravoúhlé trojúhelníky máme, že jsou pod přímkou $y=0$ a pro první integrál nad přímkou $y=\frac{x+3}{4}$ , pro druhý integrál nad $y=3x+6$ (toto jsou dolní meze vnitřních integrálů, horní jsou $y=0$ ). mez (-3) nemá být - není důvod.

$\int_{-3}^{0}dy \int_{\frac{y-6}{3}}^{\frac{3y-4}{3}}y+\frac{1}{(1-6x+2y)^{3}}dx$

pro otočený obrázek - opět skoro dobře, jen z $y=\frac{x+3}{4}$ máme $x=4y-3$ .

hans66 · 23. 05. 2014 09:06

↑ jelena:

tak zkusil jsem ten integral spocitat a neco asi delam spatně..výsledek by měl být $\frac{-144}{25}$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/28678_intf.jpg

jelena · 23. 05. 2014 10:08

↑ hans66:

Zdravím a děkuji,

vidím, že jsem nepřekontrolovala hned na úvod vyjádření přímek. Jak máš na 1. papíru $\frac{x+4}{y-1}=\frac{-1+4}{-3-0}$ , má být $\frac{x+4}{y-1}=-1$ atd. Zkontroluješ, prosím, i druhou přímku raději. Omlouvám se.

Jinak už samotná technika, alespoň co jsem prošla polovinu integrování, je v pořádku, jen vidím i různé překlepy, např. v 2. řádku roznásobuješ y(4y-3), v dalším řádku vypadlo y po trojce. To se tak nasbírá. Ještě část se substituci bych vždy napsala jako samostatný oddělený krok, abys nemusel měnit meze při substituci (je to spíš formální poznámka). Ještě jsem našla obrázky, kde je dobře vidět orientaci oblasti a popisování (obr. 4 a 5)

hans66 · 23. 05. 2014 14:29

↑ jelena:
tak ja nevim jestl jsem nepozorný, ale opet mi vysel jiny vysledek..
prepocital jsem vyjadreni prijmek a to mi vyslo trosku jinak..

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/48171_inint.jpg

jelena · 23. 05. 2014 14:40

↑ hans66:

přímky jsem už nekontrolovala, ale např. v předposledním řádku je na úvod -4y a v následném integrálu chybí 2 v mocnině. Ach jo.

jelena · 25. 05. 2014 00:06

↑ hans66:

Ještě doplním k tomuto tématu: přímky jsem překontrolovala (už v pořádku ↑ příspěvek 10:), zadání vložila do MAW, který ale vyžádal "horní a dolní" přímky a má pravdu. V odkazu, co jsem dávala, označení funkcí je přehozeno, lepší je věřit ruční tvorbě autora MAW :-)

Jinak už by mělo všechno vycházet, pokud nebudeš mít překlepy.

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2014 22:08 — Editoval hans66 (21. 05. 2014 12:30)

Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

#2 21. 05. 2014 13:38

Re: Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

#3 21. 05. 2014 21:17 — Editoval hans66 (21. 05. 2014 21:17)

Re: Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

#4 21. 05. 2014 22:22 — Editoval jelena (22. 05. 2014 10:33)

Re: Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

#5 22. 05. 2014 22:42

Re: Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

#6 22. 05. 2014 23:37

Re: Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

#7 23. 05. 2014 00:23 — Editoval jelena (23. 05. 2014 00:31)

Re: Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

#8 23. 05. 2014 09:06

Re: Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

#9 23. 05. 2014 10:08

Re: Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

#10 23. 05. 2014 14:29

Re: Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

#11 23. 05. 2014 14:40

Re: Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

#12 25. 05. 2014 00:06

Re: Integrace funkce pres oblast- prosim o radu

Zápatí