Matematické Fórum

MartinVincens · 24. 05. 2014 20:16

Dobrý den,
mám problém s jedním příkladem.
Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu v souřadnicové ose x a prochází body C (8,3) a D (6,4).
Je mi jasné, že střed S bude mít souřadnice S(m,0) a taky že body C a D musí splňovat rovnici
$\varepsilon : \frac{{(x-m)^{2}}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
Jenže, jak dál? Máme sice 2 rovnice, ale v nich 3 neznámé.
Nevíte prosím, co s tím? :-)
Předem díky za odpověď.

vanok · 24. 05. 2014 20:22

Ahoj ↑ MartinVincens:,
Tu m je parameter, cize ne potrebujes hladat pre m specialnu hodnotu.
No vsak a, b vyjadris ako funkcie parametru m.

MartinVincens · 24. 05. 2014 20:41

↑ vanok:
Díky. Našel jsem ten příklad na http://www.ontola.com/cs/di/elipsa-2#lr a zmátlo mě, jak to tam řešili :-)

jelena · 24. 05. 2014 21:46

Zdravím,

řekla bych, že by se dalo pokračovat tak, že pokud je m x-ová souřadnice středu, potom ohniska jsou $[m+e, 0]$ , $[m-e, 0]$ , můžeme sestavit jednu rovnici pro součty vzdálenosti zadaných bodů od ohnisek - vlastnost elipsy, k tomu $e=\sqrt{a^2-b^2}$ . To máme společně s rovnicemi $\varepsilon : \frac{{(x-m)^{2}}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (pro 2 zadané body) celkem 4 rovnice a 4 neznámé (a, b, e, m).

Tedy by to mělo být řešitelné, jak to vidíte? Děkuji.

MartinVincens · 25. 05. 2014 21:20

Asi by to tak šlo, ale je to poměrně složité. Myslím si, že autor příkladu spíš opomněl říct, že střed leží v počátku ss. Pak by se to podstatně zjednodušilo.
Každopádně děkuji za reakce :-)

jelena · 25. 05. 2014 23:28

↑ MartinVincens:

také děkuji, nejspíš to tak bude, že nedostatečné zadání. Označím za vyřešené.

Cheop · 26. 05. 2014 09:41 — Editoval Cheop (28. 05. 2014 11:02)

↑ MartinVincens:
Jen tak pro zajímavost:
Pokud má úloha splňovat zadání pak hlavní poloosa a musí být:
$a>4,06970512$ a ostatní prvky jsou:
$b=\frac 12\cdot{\sqrt{\frac{25a^2+\sqrt{a^4(49a^2+576)}}{a^2-1}}}\\m=\frac{74a^2-\sqrt{a^4(49a^2+576)}}{7a^2}$
kde
$m$ je x-ová souřadnice středu elipsy.
$b$ je délka vedlejší poloosy
Pro hodnotu: $a=4.06970512$ je
$a=b$ tj křivkou je kružnice se středem
$S=(5,25;\,0)$ a poloměrem $a$

jelena · 26. 05. 2014 23:46

↑ Cheop:

Zdravím,

ještě jsme nevyužili cestu, že můžeme doplnit body souměrně k zadaným (osa souměrnosti x=m) (v každém případě údajů je dost).

vanok · 27. 05. 2014 14:14 — Editoval vanok (27. 05. 2014 14:16)

Pozdravujem ↑ jelena:,
Tvoja uvaha ma jeden hacik, a, b su zavisle na m.
Cize myslienka, ze m je parameter je pouzitelna ako to mozes vidiet tu:
Uvazuj system rovnic
$\frac{{(8-m)^{2}}}{a^{2}}+\frac{3^{2}}{b^{2}}=1$
$\frac{{(6-m)^{2}}}{a^{2}}+\frac{4^{2}}{b^{2}}=1$

Ak polozis $A=\frac1{a^2} , B=\frac 1 {b^2}$ , mozes konstatovat ze ide o linearny system, ktory ma kladne riesenie, pre urcite hodnoty m. ( staci urobit diskuziu.)

Urcite je zaujimave prehlbit toto cvicenie po diskuzii a sa napr. zaujimat o taky zväzok elips co prechadzaju danymi bodmy a maju rovnobezne osy zo suradnicovymi osami a maju stred v S(m,0).

Cheop · 27. 05. 2014 14:55 — Editoval Cheop (28. 05. 2014 11:31)

↑ vanok:
Zdravím,
tady je několik elips, které mají střed na ose x a procházejí zadanými body.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/95347_eliv.png

Hlavní poloosy mají po řadě délky a=(5,6,7,8,9)
PS: Já tedy volím délku hlavní poloosy (a) a dopočítávám x-ovou souřadnici středu a délku vedlejší poloosy (b)

Edit: Pokud bychom za parametr zvolili x-ovou souřadnici středu elipsy $m$ pak by pro :
$m<\frac{50}{7}$ a délky poloos by byly:
$a=\frac{\sqrt{49m^2-1036m+4900}}{7}\\b=\frac a2\cdot{\sqrt{\frac{25+\sqrt{49a^2+576}}{a^2-1}}}$

vanok · 30. 05. 2014 11:51

Pridam este diskuziu, tykajucu sa m.
Linearny system ma determinant
$D=((8-m)^{2}).4^2-((6-m)^{2}).3^{2}=\\$4.(8-m)+3(6-m)$.$4.(8-m)-3(6-m)$=\\ (50-7m).(14-m)$
Co da
$A=\frac{7}D$
$B=\frac{(8-m)^2-(6-m)^2}D=4.\frac{7-m}D$ .
Akoze $A,B>0$ musi platit, tak mame $m>7$ .
Takze vtedy mame
$a=\sqrt{\frac { (50-7m).(14-m)}7}$
$b=\frac 12.\sqrt{\frac { (50-7m).(14-m)}{7-m}}$

Poznamka: ak by sme uvazovali aj rovnice
$- \frac{{(x-m)^{2}}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$\frac{{(x-m)^{2}}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
dany linearny system by dal hodnoty parametru m, aj pre taketo situacie.