Matematické Fórum

barca.fl · 25. 05. 2014 12:06

Ahoj, neví někdo, jak na tento příklad?

Nezkušený otec rozdal čtyřem dětem jejich zubní kartáčky náhodně, protože nevěděl, který komu patří. Určete pravděpodobnost, že alespoň jedno dítě dostalo vlastní kartáček.

Jj · 25. 05. 2014 12:31

↑ barca.fl:

Dobrý den. Řekl bych, že přes doplňkovou pravděpodobnost:

P(aspoň jedno dítě dostane svůj kartáček) = 1 - P(žádné dítě nedostane svůj kartáček).

barca.fl · 25. 05. 2014 13:32

Mohl byste mi sem napsat i nějaký postup? ... jsem s pravděpodobností uplně mimo ...

Jj · 25. 05. 2014 18:39

↑ barca.fl:

Šel bych na to zřejmě přes výpis možností, kdy neplatí žádné správné přiřazení kartáček <--> děcko.

Děcka: A,B,C,D; kartáčky a,b,c,d:

Děcku A přiřadíme např. karáček D a podíváme se na další možnosti:
A B C D
d a b c
a c b
b a c
b c a
c a b
c b a

Je zřejmé, že bez žádného správného přiřazení jsou jen tři (bílé) řádky, to zn. tři možnosti.
Děcku A můžeme ještě přiřadit písmena b, c, v obou případech zase tři možnosti.

Takže je 9 způsobů rozdělení karáčků, kdy není žádné správné přiřazení. Celkový počet
možností rozdělení je 4! = 24.

Takže bych řekl: Pravděpodobnost, že alespoň jedno dítě dostane vlastní kartáček =
$1-\frac{9}{24}$

vnpg · 25. 05. 2014 19:14

Dobrý den,
další možnost je použít princip inkluza a exkluze. Pro libovolné 4 náhodné jevy $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ a $A_4$ v libovolném pravděpodobnostním prostoru platí

$\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) &= \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(A_2) + \mathbb{P}(A_3) + \mathbb{P}(A_4) \\ &\qquad - \mathbb{P}(A_1 \cap A_2) - \mathbb{P}(A_1 \cap A_3) - \mathbb{P}(A_1 \cap A_4) - \mathbb{P}(A_2 \cap A_3) - \mathbb{P}(A_2 \cap A_4) - \mathbb{P}(A_3 \cap A_4) \\ &\qquad + \mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap A_3) + \mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap A_4) + \mathbb{P}(A_1 \cap A_3 \cap A_4) + \mathbb{P}(A_2 \cap A_3 \cap A_4) \\ &\qquad - \mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)$ .

V našem případě označíme jako $A_j$ jev, kdy dítě $j$ dostane svůj kartáček.