Matematické Fórum

Vašek · 30. 04. 2014 18:52

Zdravím,
řeším příklad veďte bodem A přímku vzdálenou od bodu B ...cm
Znám řešení se vzdáleností bodu od přímky $\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ , což je ale docela dlouhý výpočet, jak to udělat jednodušeji, napadá mne udělat rovnici kružnice a pak asi udělat nulový diskriminant, ale nevím z čeho a jak... pomožte prosím

byk7 · 30. 04. 2014 19:01

zadání není kompletní, resp. v téhle podobě nedává smysl

Vašek · 30. 04. 2014 19:13

jo, já se snažil to napsat obecně a ty cm mi tam skočily, být tam neměly. třeba
A[0;2], B[3;-1], veďte bodem A přímku vzdálenou od bodu B 1

Jj · 30. 04. 2014 19:31

↑ Vašek:

Dobrý den, možno využít poláru kružnice (= přímka, procházející body dotyku kružnice a tečen, spuštěných z vnějšího bodu na kružnici).

V tomto případě:

- kružnice se středem v bodě B o poloměru r = 2.
- tečny spuštěné na tuto kružnici z bodu A budou od bodu B vzdáleny o r.

Rovnice poláry: (x-m)(xA-m)+(y-n)(yA-n) = r^2.

m, n - souřadnice středu kružnice (tj. bodu B),
xA, yA - souřadnice bodu A.

Řešením soustavy rovnic 'kružnice + polára' spočítáte souřadnice bodů dotyku spuštěných tečen. Přímky procházející bodem A a body dotyku budou od bodu B vzdáleny o r.

zdenek1 · 30. 04. 2014 22:42

↑ Vašek:

což je ale docela dlouhý výpočet

Asi tě zklamu, ale co se náročnosti výpočtu týče, je využití vzdálenosti to nejjednodušší, co můžeš udělat. Využití diskriminatu bývá na výpočet mnohem horší.

trik je v tom, zvolit si $b=-1$ .
pak ve tvém konkrétním případě bude mít přímka rovnici $p:ax-y+2=0$
a dosazením do vzorce
$\frac{|3a+1+2|}{\sqrt{a^2+1}}=1$
$|3a+3|=\sqrt{a^2+1}$ umocníš
$9a^2+18a+9=a^2+1$
zbytek je triviální.

Vašek · 02. 05. 2014 20:34 — Editoval Vašek (03. 05. 2014 10:54)

Díky, vypadá to jednoduše, ale nevím, jak jsi zjistil x=3 a c=2, předem díky za osvětlení
E. změna hodnoty c

zdenek1 · 02. 05. 2014 21:40

↑ Vašek:
že $x=3$ jsem si přečetl, protože to je souřadnice bodu B
že $c=3$ jsem nezjistil, protože jsem zjistil, že $c=2$
$p:ax-y+\underbrace{2}_{c}=0$
a určil jsem to tak, že jsem si dosadil souřadnice bodu A do rovnice
$ax-y+c=0$

Vašek · 26. 05. 2014 19:48

Ještě dotaz, kdyby xová souřadncie bodu A nebyla 0, jak bys dosazoval do obecné rovnice?

zdenek1 · 26. 05. 2014 20:08

↑ Vašek:
úplně stejně.

Vašek · 26. 05. 2014 20:14

Jo.. Pak kdyby byl bod A[2;2] tak dosadím (když jsem si řekl b=-1)
2a-2+c=0
c=2-2a
a to 2-2a bych dosadil do rovnice vzdálenosti?

zdenek1 · 26. 05. 2014 22:28

↑ Vašek:
$p:a(x-2)+b(y-2)=0$
$p:ax+by-2a-2b=0$
$\frac{|3a-b-2a-2b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1$
$|a-3b|=\sqrt{a^2+b^2}$
$a^2-6ab+9b^2=a^2+b^2$
$b(4b-3a)=0$

a) $b=0$ , $p:x-2=0$
b) $b=\frac{3a}{4}$ , $p:4x+3y-14=0$

Rumburak

↑ Vašek:

Ahoj. Nebo následivně:

Nechť zadání je

$A[0;2], B[3;-1]$ , veďte bodem $A$ přímku mající od bodu $B$ vzdálenost 1 .

Hledaná přímka bude určena body $A, C$ , kde bod $A$ známe a o bodu $C$ víme, že

vektor $B-C$ je kolmý k vektoru $A-C$ , při tom $|B-C| = 1$ .

Odtud sestavíme soustavu rovnic pro neznámé souřadnice bodu $C$ .

Dala by se využít i skutečnost, že bod $C$ leží na Thaletově kružnici nad průměrem $AB$ .