Matematické Fórum

leniczcha · 17. 12. 2007 13:59

robert.marik · 17. 12. 2007 15:02

$\int x\sqrt{x-9}dx + \int x^{-1/2}dx$
ten první integrál je na substituci, ten druhý jenom mocninná funkce a je to vzorec

leniczcha · 17. 12. 2007 22:23

Za substituci se bude dávat proměnná x?

robert.marik · 17. 12. 2007 22:35

$x-9=t^2$

$dx=2tdt$

Saturday · 18. 12. 2007 01:00

ten druhý integrál chápu, ale ta substituce u prvního se mi nezdá, určitě tím vyhubím x?

$x-9=t^2$ => $t=\sqrt{x-9}$

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x-9}}$ => $dx = 2 \sqrt{x-9} dt$

$\int x t 2 \sqrt{x-9} dt$

předpokládám, že ta substituce byla myšlena nějak jinak, než jsem ji pochopil, ale nevím jak, mohl by to prosím někdo rozepsat, jak je to správně?

robert.marik

Všechno se musí převést do nové proměnné

$dx=2tdt$

$x-9=t^2$

$t$ bereme kladné

$x=t^2+9$

Integrál přejde na $\int \underbrace{(t^2+9)}_{x} \quad t \quad \underbrace{2tdt}_{dx}$

Roznásobí se závorky a potom už méme na starosti jenom integrování polynomu.

A zase přidám odkaz na počítadlo, tentokrát od kolegů z MU kde se interál počítá tak, že se i zobrazují kroky: http://cgi.math.muni.cz/~xsrot/int/integral.cgi

Saturday

Přepíšu to celé znovu, když už jsem to pochopil .-) (jsem pořádkumilovný, bohužel)

$\int x\sqrt{x-9} + \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x\sqrt{x-9}dx + \int x^{-1/2}dx$

1. integrál:

substituce: $t^2 = x-9 => x = t^2 + 9$ , $\frac{dx}{dt}=2t$

dostáme tedy: $\int (t^2 + 9) t \text{ }2t dt = \int 2t^4 + 18t^2 dt = \frac{2}{5}t^5 + 6t^3 + C = \frac{2}{5}(x-9)^{5/2} + 6(x-9)^{3/2} + C$

2. integrál:

$\int x^{-1/2}dx = 2\sqrt{x} + C$

poznámka: není to sice vidět přímo, ale substituce x-9 má derivaci 1 a proto je možné tu substituci použít tak, jak je použita - pokud by substituce byla za nějaký kvadratický mnohočlen, pak by se v integrálu muselo objevit násobení funkcí g'(x)