Matematické Fórum

Vektor111 · 26. 05. 2014 16:48

Dobry den, mam dilemu, prosim o objasnenie: Existuje rychlejsie rastuca mocninna funkcia ako $e^x$ ?

Sherlock

Není, a existuje několik způsobů jak to dokázat, jeden uvedu zde:

Kdyby existovala funkce $x^{a}$ rychleji rostoucí než $e^{x}$ , nesměla by platit rovnost $\lim_{x\to\infty }\frac{x^{a}}{e^{x}}=0$

Ona ale platí, aplikujeme-li a-krát L'Hospitalovo pravidlo. Dostaneme totiž: $\lim_{x\to\infty }\frac{x^{a}}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty }\frac{a!}{e^{x}}=0$

Jj · 26. 05. 2014 19:36

↑ Sherlock:

Podle toho kritéria ovšem zase $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x} {x^{x}} = 0$ .

Sherlock · 26. 05. 2014 19:43

↑ Jj:

$x^{x}$ už není mocninná, nebo se pletu? Mocninná je $x^{a}$ pro konstantní reálné $a$

Jj · 26. 05. 2014 19:57

↑ Sherlock:

Jistě, máte pravdu. Jen jsem "tak zareagoval". Ani nevím, do jaké kategorie vlastně funkce $x^{x}$ patří.

Sherlock · 26. 05. 2014 20:39

↑ Jj:

Asi do žádné :) je to zvláštní funkce.

offtopic: Ale né tak zvláštní jako nekonečná tetrace a platnost mimochodem velmi zajímavého vzorce $^{\infty }z=z^{z^{z^{z^{...}}}}=\frac{W(-\ln z)}{-\ln z}$ , kde $W(x)$ je Lambertova W funkce

Jj · 27. 05. 2014 08:28

↑ Sherlock:

Díky.

Vektor111 · 27. 05. 2014 12:42

dakujem za zodpovedanie otazky a dokaz.

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2014 16:48

existencia funkcie

#2 26. 05. 2014 18:58 Příspěvek uživatele Sherlock byl skryt uživatelem Sherlock.

#3 26. 05. 2014 19:18 — Editoval Sherlock (26. 05. 2014 19:18)

Re: existencia funkcie

#4 26. 05. 2014 19:36

Re: existencia funkcie

#5 26. 05. 2014 19:43

Re: existencia funkcie

#6 26. 05. 2014 19:57

Re: existencia funkcie

#7 26. 05. 2014 20:39

Re: existencia funkcie

#8 27. 05. 2014 08:28

Re: existencia funkcie

#9 27. 05. 2014 12:42

Re: existencia funkcie

Zápatí