Matematické Fórum

rwe · 27. 05. 2014 21:36

Zdravím,
poprosil bych o radu s tímto příkladem. Zjistit zda konverguje nebo diverguje řada podle D´Alambertova kritéria. Zde je postup, jak jsem řešil, ale dál už nevím.

Zadání: $\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{2}{n})^n*n!$

můj výpočet:
$\lim_{n\to\infty }\frac{2^n}{n^n}*n!=$ $\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{2^{n+1}*(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^{n}*n!}{n^{n}}}=$ $\lim_{n\to\infty }\frac{2^{n+1}*(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}*\frac{n^{n}}{2^{n}*n!}=$ $\lim_{n\to\infty }\frac{2*2^{n}*(n+1)!}{(n+1)*(n+1)^{n}}*\frac{n^{n}}{2^{n}*n!}=$ $\lim_{n\to\infty }\frac{2*n^{n}*(n+1)!}{(n+1)*(n+1)^{n}*n!}=$ $\lim_{n\to\infty }\frac{2*n^{n}*(n+1)*n!}{(n+1)*(n+1)^{n}*n!}=$ $\lim_{n\to\infty }\frac{2*n^{n}}{(n+1)^{n}}=$

a tím to pro mě končí, už nevím co s tím dál...... děkuji za pomoc

Jj · 27. 05. 2014 22:16 — Editoval Jj (27. 05. 2014 22:17)

↑ rwe:

Dobrý večer, řekl bych, že už jste ve finiši:

$\lim_{n\to\infty }\frac{2\cdot n^{n}}{(n+1)^{n}}=2\cdot \lim_{n\to\infty }\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=2 \cdot \frac{1}{e}$ , kde 'e' je Eulerovo číslo.

rwe · 27. 05. 2014 22:37

↑ Jj:

Tak jestli jsem dobře pochopil:

upravím poslední zlomek takto:
$\lim_{n\to\infty }\frac{2*n^{n}}{(n+1)^{n}}=$ $2*\lim_{n\to\infty }\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}=$ $2*\lim_{n\to\infty }\frac{n^{n}}{(1+\frac{1}{n})*n^{n}}=$ $2*\lim_{n\to\infty }\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=$

jelikož je: $(1+\frac{1}{n})^n=e$

tak $2*\lim_{n\to\infty }\frac{1}{e}=2*\frac{1}{e}$