Matematické Fórum

Budeme potřebovat znát obraz vektoru (2, -1, -1). Předpokládám, že toto jsou jeho souřadnice ve standardní bázi, takže máme dvě možnosti: buď převést matici zobrazení do standardních bází, nebo nejdřív vektor (2, -1, -1) převést do báze B1,  a jeho obraz pak převést z báze B2 do standardní.
Použiju tu druhou možnost, je to méně počítaní, tak tam snad nasekám míň chyb :)

Označme a = (2, -1, -1). Jeho převedení do báze B1 tu asi rozepisovat nemusím. Jeho souřadnice v B1 mi vyšli (1, 2, -1)
Jeho obraz v bázi B2 pak vyšel (3, 3, 3). Takže v bázi standardní f(a) = (3, 0, 15)

Bází ortogonálního doplňku budou dva LN vektory kolmé na f(a). Skalární součin v zadání není uveden, předpokládám tedy, že se jedná o standardní skalární součin.
pro ten plati: , kde
Hledáme tedy dva lineárně nezávislé vektory, které splňují: (f(a), x) = 0,

Řešením jsou například vektory (0, 1, 0) a (5, 0, -1)
Čili báze ortogonálního doplňku je soubor ((0, 1, 0), (5, 0, -1))

souřadnice v bázi B1 budou , to znamená, že musí platit:

takže máme tři rovnice o třech neznámých, matice soustavy bude tedy vypadat:
-2 3 2 | 2
1 1 4 |-1
2 0 3 |-1
Gaussova eliminace a následné nalezení řešení je jasné? Jejím řešením je vektor (1, 2, -1)

Vynásobením tohoto vektoru z leva maticí zobrazení, tak jak ji máš v zadání, získáme jeho obraz v bázi B2: (3, 3, 3)
ten pak do standardní báze převedeme už jednoduše:
3(1,2,1) + 3(-1,0,3) + 3(1,-2,1) = (3, 0, 15)