Matematické Fórum

kaitlyn

Ahojky,

prosím vysvětlíte mi někdo, jak přijdu na to, že dimenze níže definovaného vektorového podprostoru je $n-2$ ?

Určete dimenzi podprostoru $V = \{ f \in \mathbb{R}_{n}[x], f(0) = f(1) = 0\}$ vektorového prostoru $\mathbb{R}_{n}[x]$ .

Vím, že:
$dim(\mathbb{R}_{n}[x]) = n+1$ ,
dále vím, že funkce, resp. polynom je roven 0 ve dvou případech, a to po dosazení 0 nebo 1. Takže $dim(V) = n+1-2 = n-1$ . Musím pak ještě odečíst dimenzi koeficientu $a_0$ u členu $x^0$ ?

Díky předem mockrát!

vanok · 29. 05. 2014 18:46

Ahoj ↑ kaitlyn:,
Klucova myslienka je, ze f(x)=x(x-1)q(x), kde $q \in \mathbb{R}_{n-2}[x]$

kaitlyn

↑ vanok:,

proč ses rozhodl použít tenhle tvar polynomu $f(x) = x \cdot (x-1) \cdot q(x)$ ? Tuším, že x je kvůli kořenu 0, (x-1) kvůli 1, ale co je q(x)? Jak jsi z toho vydedukoval, že má dimenzi n-2?

vanok · 29. 05. 2014 21:57 — Editoval vanok (30. 05. 2014 09:57)

Tu treba zacat robit uvahy o stupnoch polynomu. ( tvoj priestor $\mathbb{R}_{n}[x]$ je priestor realnych polynomov najviac stupna n)
Non vsak viez ze potom q, tak ako som ho definoval je stupna najviac n-2.
Je jasne, ze potom $f(x) = x \cdot (x-1) \cdot q(x)$ je prvok toto priestoru $V = \{ f \in \mathbb{R}_{n}[x], f(0) = f(1) = 0\}$ .
A aby si dokazala ze ma dim n-1, treba mu najst jednu bazu.
Dokazes to?

kaitlyn

↑ vanok:,

ano pochopila jsem, že $\mathbb{R}_{n}[x]$ je množina všech polynomů stupně nejvýše n, dimenze n+1, čili q(x) podle tebe definované musí být stupně nejvýše n-2, a tedy dimenze n-1. Ale, jak mi to pomůže zjistit, že V je dimenze n-2? Pořád nevidím souvislosti :( Dimenze prostoru je rovna počtu prvků kteréhokoliv jeho báze. Když najdu jednu bázi, tak tím zjistím, že má jednu dimenzi... K čemu?

vanok · 29. 05. 2014 22:56 — Editoval vanok (30. 05. 2014 09:55)

$P_{n-2}$ priestor polynomov stupna najviac n-2, ma jednu moznych bazu
$1,x,x^2,...,x^ {n-2}$ ,
Ku kazdemu vektoru q z P, priradis vektor z V f taky ze $f(x)=x(x-1)q(x)$
( tu vektory su polynomy)
To mozes urobit aj pre vsetki vektory bazy,a to da jednu bazu priestoru V ( co uz sama lahko overis) co urci tu hladanu dim.

kaitlyn · 31. 05. 2014 12:27

Ahoj, ↑ vanok:!

Předem Ti moc děkuji za pomoc :)

Myslíš si, že i tenhle způsob řešení je správný?
$f(0) = a_0 = 0$ ,
$f(1) = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_1 + a_0 = 0$ .

Čili:
$a_0 = 0$
$a_1 = p$
$a_2 = q$
atd.
$a_{n-2} = t$
$a_{n-1} = u$
$a_n = - u - t - \cdots - q - p$

Těch parametrů je n-2, čili i báze, která vznikne bude mít dimenzi n-2. Je to tak ok?

vanok · 31. 05. 2014 13:22 — Editoval vanok (31. 05. 2014 14:03)

↑ kaitlyn:,
Ano, aj to je dobra cesta k rieseniu ( no vlastne je to podobne tomu, co som som nechal ti dokazat)
Nemusis pouzit nove parametre p,q... Ale pouzi tu vlasnost a dat do formy.
Presnejsie:
Staci napisat, ze v baze $1,x,x^2,...,x^ n$ priestoru $\mathbb{R}_{n}[x]$ lubovolny polynom z $V$ sa pise
$(-a_{n-1}-...a_1)x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x$
Toto sa pise aj takto
$a_{n-1}(x^{n-1}-x^n)+a_{n-2}(x^{n-2}-x^n)+...a_1(x-x^n)$

Cize teraz je ozaj jednoduche napisat expicitne jednu bazu priestoru $V$
( pre pedanteho opravotela mozes este pridat, preco je linearne nezavisla a preco generuje $V$ )

kaitlyn · 31. 05. 2014 13:54

↑ vanok:,

ano, chápu :)

Měla bych ještě otázku...
Najděte bázi podprostorů:
$V_1 = \{ f \in \mathbb{R}_{5}[x], f(x) = f(-x)\}$ ,
$V_2 = \{ f \in \mathbb{R}_{5}[x], f(x) = -f(-x)\}$ .

Ve sbírce je jako první krok:
$f(x) = a_5x^5 + a_4x^4 + \cdots + a_1x + a_0$ ,
$f(x) = - a_5x^5 + a_4x^4 - \cdots - a_1x + a_0$ .

Pro $f(x) = f(-x)$ : $2a_5x^5 + 2a_3x^3 + 2a_1x = 0$ , kde $a_5 = a_3 = a_1 = 0$ .

Je nutný tento krok, když vím, že předpis $f(x) = f(-x)$ je pro sudé funkce (zde tedy polynomy) a $f(x) = -f(-x)$ je pro liché funkce? Logicky báze $V_1 = [x^4, x^2, x^0]$ a báze $V_2 = [x^5, x^3, x]$ . Uvažuji správně?

vanok · 31. 05. 2014 14:00 — Editoval vanok (31. 05. 2014 14:04)

↑ kaitlyn:,
Uz sa nemusis namahat.
Skor si precitaj toto.
Vseobecne sme dostali $a_{n-1}(x^{n-1}-x^n)+a_{n-2}(x^{n-2}-x^n)+...+a_1(x-x^n)$ , tak to treba vyuzit :
Tak uz sa ne musis namahat lebo toto je ta baza:
$x^{n-1}-x^n,x^{n-2}-x^n,...,x-x^n$

kaitlyn · 31. 05. 2014 14:04

↑ vanok:,

ano, to už vím :)

Dotaz #10 patří k jiné úloze :) Omlouvám se, že Tě matu...

vanok · 31. 05. 2014 14:07

↑ kaitlyn:,
Asi si musis trochu odpocinut, aj vela mat. skodi!

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2014 17:08 — Editoval kaitlyn (29. 05. 2014 17:08)

Dimenze vektorového podprostoru

#2 29. 05. 2014 18:46

Re: Dimenze vektorového podprostoru

#3 29. 05. 2014 21:13 Příspěvek uživatele kaitlyn byl skryt uživatelem kaitlyn. Důvod: Spletla jsem si stupně polynomu s dimenzí.

#4 29. 05. 2014 21:44 — Editoval kaitlyn (29. 05. 2014 22:02)

Re: Dimenze vektorového podprostoru

#5 29. 05. 2014 21:57 — Editoval vanok (30. 05. 2014 09:57)

Re: Dimenze vektorového podprostoru

#6 29. 05. 2014 22:15 — Editoval kaitlyn (29. 05. 2014 22:19)

Re: Dimenze vektorového podprostoru

#7 29. 05. 2014 22:56 — Editoval vanok (30. 05. 2014 09:55)

Re: Dimenze vektorového podprostoru

#8 31. 05. 2014 12:27

Re: Dimenze vektorového podprostoru

#9 31. 05. 2014 13:22 — Editoval vanok (31. 05. 2014 14:03)

Re: Dimenze vektorového podprostoru

#10 31. 05. 2014 13:54

Re: Dimenze vektorového podprostoru

#11 31. 05. 2014 14:00 — Editoval vanok (31. 05. 2014 14:04)

Re: Dimenze vektorového podprostoru

#12 31. 05. 2014 14:04

Re: Dimenze vektorového podprostoru

#13 31. 05. 2014 14:07

Re: Dimenze vektorového podprostoru

Zápatí