Matematické Fórum

CarolinaN · 29. 05. 2014 21:21

ahoj, mam problem s dost jednoduchym integralem, prosim o natuknuti postupu, nevim jakou udelat substituci nebo jiny zpusob, ktery mam pouzit

$\int_{}^{}\frac{1}{x^{4}+4}dx$

diky za každou radu!

JohnPeca18 · 29. 05. 2014 22:05

Tu se pouzije rozklad na parcialne zlomky. I ked vypada ten vyraz jednoduse, pokud si dobre pamatuju, tak tenhle priklad je na docela pracne pocitani. Nejprv si musis rozlozit $x^4+4$ na 2 kvadraticke dvojcleny. To urobis tak, ze najdes koreny $x^4+4=0$ V tomto pripade $x_1=-1-i, x_2=-1+i, x_3=1-i, x_4=1+i$ , to jsem dal spocist Wolphramu, jinak by se to asi resilo prevodem na -4 na goniometricky tvar a najit vsechny 4 komplexne odmocniny -4.

Pak si uvedomime, ze pre x^4+4 tak jako pro jakykoliv polynom 4. stupne a obecne n-teho stupne plati, ze sa da rozlozit na soucin s komplexnymi koreny
$x^4+4=1*(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ Pozor ta 1 je koeficient u $x^4$ .

Vidime, ze $x_1$ a $x_2$ jsou vzajemne komplexne zdruzene. Podobne $x_3$ a $x_4$ . Takze kdyz vynasobime casti tyhle vzajemne casti soucinu, tak dostaneme kvadraticky vyraz s realnymi koeficenty

$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=(x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2)(x^2-x(x_3+x_4)+x_3x_4)$
Po dosazeni $x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

To si napisu do jmenovatele a pokracuju receptem na rozlozeni na parcialni zlomky . .

CarolinaN

↑ JohnPeca18:

tyjo, my integraly s komplexnima cislama urcine nepočitame, myslim že je tam jednodussi postup jen ho nevidim :)

a oprava: to je vzorec to znam.. takže mam pokracovat takto.. no ja jestli v tom neni neco jednodussiho :) tak dik!

JohnPeca18

nepocitas s komplexnymi cislami, ty vypadnou. Myslim, ze nic jednodussiho nenajdes. Potrebujes rozlozit ten polynom 4. stupne na 2 kvadraticke polynomi. Pokud na to najdes neco chytrejsiho bez komplexnich cisel, tak by to slo. Ale ja nic jineho neznam.

CarolinaN · 29. 05. 2014 22:17

↑ JohnPeca18:

asi to jinak nejde :) dik

jelena · 29. 05. 2014 22:27

Zdravím,

jde upravit: $\int_{}^{}\frac{1}{x^{4}+4+4x^2-4x^2}dx$ , potom povede na rozklad dle kolegy

$x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

Souhlasíte? Děkuji.

CarolinaN · 29. 05. 2014 22:29

Děkuju

jelena · 29. 05. 2014 22:31

↑ CarolinaN:

také děkuji za pomoc kolegyně.

JohnPeca18 · 29. 05. 2014 22:35

↑ jelena:

Aha, to vypada hezky, zajimave a prakticky. Diky za obohaceni.

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2014 21:21

integral

#2 29. 05. 2014 22:05

Re: integral

#3 29. 05. 2014 22:08 — Editoval CarolinaN (29. 05. 2014 22:10)

Re: integral

#4 29. 05. 2014 22:10 — Editoval JohnPeca18 (29. 05. 2014 22:11)

Re: integral

#5 29. 05. 2014 22:17

Re: integral

#6 29. 05. 2014 22:27

Re: integral

#7 29. 05. 2014 22:29

Re: integral

#8 29. 05. 2014 22:31

Re: integral

#9 29. 05. 2014 22:35

Re: integral

Zápatí