Matematické Fórum

aska · 13. 02. 2009 10:50

Nevím si rady s jedním příkladem. Prosím o pomoc. Díky

Mezi čísla 1 a 25 vložte čísla tak, aby s těmito čísly tvořila aritmetickou posloupnost a jejich součet byl 117. Určete tato čísla a diferenci d.

Takže došla jsem do toho, že
a1=1
an=25
Sn=117

podle vzorce: 25=1+(n-1)*d

a tady jsem se zasekla... vůbec nevím jak vypočítat d... abych to potom mohla dosadit do vzorce.

Cheop · 13. 02. 2009 11:00 — Editoval Cheop (13. 02. 2009 11:05)

↑ aska:
$S_n=\frac n2(a_1+a_n)\nl117=\frac n2(1+25)\nl234=26n\nln=9$
$a_n=a_1+(n-1)d\nl25=1+(9-1)d\nl24=8d\nld=3$
$a_1=1\nla_2=4\nla_3=7\nla_4=10\nla_5=13\nla_6=16\nla_7=19\nla_8=22\nla_9=25$

Vložená čísla jsou: 4, 7,10, 13, 16, 19, 22

musixx · 13. 02. 2009 11:00 — Editoval musixx (13. 02. 2009 11:03)

↑ aska: Pro aritmetickou posloupnost
$a_1=a_1$
$a_2=a_1+d$
$a_3=a_1+2d$
$a_4=a_1+3d$
$\dots$
$a_n=a_1+(n-1)d$
plati, ze soucet clenu $a_1$ az $a_n$ je $na_1+\frac{n(n-1)}2d$ .

My mame najit dve veci: jednak $n$ , tedy kolik tech clenu bude, a jednak, jaka bude diference $d$ mezi sousednima dvema. Vime, ze $a_1=1$ a $a_n=25$ .

Protoze $a_n=a_1+(n-1)d$ , tak mame, ze $(n-1)d=a_n-a_1=25-1=24$ .

Dale mame, ze $na_1+\frac{n(n-1)}2d=117$ , tedy $n\cdot1+\frac n2\cdot(n-1)d=117$ . Dosazenim za $(n-1)d=24$ dostaneme $n+\frac n2\cdot24=117$ , odkud $13n=117$ , tedy $n=9$ .

Z $(n-1)d=24$ mame pak $d=\frac{24}{9-1}=3$ .

Je tedy o posloupnost 1,4,7,10,13,16,19,22,25.

EDIT: Druhe uvedene reseni je ponekud kratsi a nejspis tedy vhodnejsi...