Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 05. 2014 19:00

FliegenderZirkus
Příspěvky: 544
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Počet hran v síti čtyřstěnů

Ahoj,

mám síť čtyřstěnů, tj. mnoho čtyřstěnů poslepovaných k sobě tak, že bez mezer nebo překrývání vyplňují určitý prostor (jedná se o těleso modelované pomocí metody konečných prvků). Znám počet čtyřstěnů a vrcholů a rád bych spočítal celkový počet hran. Výsledek bude nejspíš záviset ještě na jiných faktorech, ale jde mi spíš jen o odhad. Např. pokud odstraním jeden čtyřstěn „uvnitř“ tělesa, tak se nezmění počet vrcholů ani hran, ale počet čtyřstěnů zřejmě klesne o jeden. Můžeme tedy uvažovat případ, kdy těleso neobsahuje „díry“.

Tento problém bude nejspíš souviset s Eulerovou charakteristikou, ale nejsem si jistý, jak ji uplatnit ve 3D. Předem díky za reakce.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) FliegenderZirkus)

#2 29. 05. 2014 20:12

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Počet hran v síti čtyřstěnů


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 29. 05. 2014 20:36

FliegenderZirkus
Příspěvky: 544
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Re: Počet hran v síti čtyřstěnů

Díky za odkaz. Francouzky neumím, ale vytušil jsem, že článek se točí kolem vzorce
S-A+F = vrcholy - hrany + stěny = 2.
Zmiňuje ale i případ, kdy těles je více a některé vrcholy, hrany a stěny jsou sdíleny více tělesy? Tak daleko jsem se neprokousal...

Offline

 

#4 29. 05. 2014 20:49 — Editoval vanok (29. 05. 2014 20:56)

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Počet hran v síti čtyřstěnů

↑ FliegenderZirkus:,
Aleaspon  pozoruj co sa deje ked mas homemorfismy z telesamy ako na strany 20( gula, torus...)
Tiez je to zavisle aj na tom co je pojem diera...
Iste vzdy predpokladas konexitu, ze.

Pozri aj toto
http://mathworld.wolfram.com/EulerCharacteristic.html
Iste v nejakych knihach o Algebraickej topologii najdes nieco.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 30. 05. 2014 02:06 — Editoval Brano (30. 05. 2014 12:21)

Brano
Příspěvky: 2646
Reputace:   229 
 

Re: Počet hran v síti čtyřstěnů

formalny dokaz nemam, ale zda sa mi take prirodzene, ze Eulerova charakteristika pre R3 by mala byt
V-E+F-S=0 kde V = vrcholy E = hrany F = steny a S = objemy (aj s vonkajsim objemom)

EDIT: v dalsom prispevku som zistil, ze v nasledujucom vztahu je chybicka
potom ak su tie objemy vzdy stvorsteny, tak plati F=2S teda E=V+S
co si v prvom kroku over nejakymi simulaciami (asi nejake mas, ked to potrebujes pre prakticke ucely) a potom mozme podumat nad nejakym dokazom ak by to sedelo a nezdalo by sa ti to ocividne

Offline

 

#6 30. 05. 2014 09:26

FliegenderZirkus
Příspěvky: 544
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Re: Počet hran v síti čtyřstěnů

↑ Brano:
S = objemy znamená počet čtyřstěnů? Na obrázku jsou červeně očíslovány vrcholy a černě s podtržením hrany:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/34539_Ctyrsteny2.png
Jak mám prosím do tvého vzorce dosadit?

Začínám být trochu pesimista, protože vlastně počet stěn předem neznám, jen počet vrcholů a čtyřstěnů. I kdybych našel jednu rovnici, která obsahuje ty čtyři proměnné V, S, F, E, pořád mám dvě neznámé. :/

Offline

 

#7 30. 05. 2014 10:07

vanok
Příspěvky: 14313
Reputace:   740 
 

Re: Počet hran v síti čtyřstěnů

Ahoj, tu mas este jedno URL http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs … euler.html kde je to vysvetlene z trocha ineho pohladu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 30. 05. 2014 12:31 — Editoval Brano (30. 05. 2014 12:44)

Brano
Příspěvky: 2646
Reputace:   229 
 

Re: Počet hran v síti čtyřstěnů

S je pocet objemikov, ale treba zaratat aj ten vonkajsi. Teda ak X je pocet stvorstenov, tak potom S=X+1.
Ale kazdy stvorsten ma 4 steny teda stien tam bude 4X, az na to, ze sme kazdu vnutornu stenu teraz zaratali 2x. Teda nech I je pocet vnutornych stien a O je pocet vonkajsich stien, tak potom plati
2I+O=4X, alebo teda F=I+O=2X+O/2. Teraz to dosadme a mame

0=V-E+2X+O/2-X-1=V-E+X-1+O/2 teda E=V+X+O/2-1 cize potrebujes aspon vediet zratat vonkajsie steny.
Lenze povrch, ak to nema byt derave, je sfera, teda mozme pouzit normalnu eulerovu charakteristiku.
Teda nech Y je pocet vnutornych vrcholov a Z je pocet Vonkajsich vrcholov, teda V=Y+Z. A tiez
Z-e+O=2 (e su vonkajsie hrany) lenze steny su trojuholniky, teda 2e=3O cize O=2Z-4 teda mame

E=X+Y+2Z-3 takze musis aspon vediet rozlisit kolko je vnutornych a kolko vonkajsich vrcholov.

V predchadzajucom prispevku som sa nejak prepocital, ale uz bolo dost neskoro vecer :-)

Ak som dobre pocital teraz v tvojom obrazku, tak by to malo sediet - skus si to pripadne este overit.

Offline

 

#9 30. 05. 2014 23:43

FliegenderZirkus
Příspěvky: 544
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Re: Počet hran v síti čtyřstěnů

↑ Brano:

Přesně tohle jsem potřeboval, díky! Ze vzorce E=X+Y+2Z-3 můžu odhadnout E < X + 2*V - 3, protože celkový počet vrcholů V = Y+Z znám. Pokud těleso obsahuje díry, tak jich nejspíš bude méně než 3*Y a i kdyby ne, tak se bude přesouvat trochu paměti, to už nehraje velkou roli. Téma označuji za vyřešené.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson