Matematické Fórum

s-o-k-o-l · 01. 06. 2014 12:28

Dobrý den,
mohl bych poprosit o pomoc s tímto příkladem (hodit návnadu)

Poločas rozpadu $^{238}_{92}U$ je $4,5\cdot 10^{9}$ let. Součástí uranové rozpadové řady s nejdelším poločasem rozpadu je $^{234}_{92}U$ , jehož poločas rozpadu je $2,5\cdot 10^{5}$ let. Kolik je dnes $^{234}_{92}U$ v kusu nerostu, ve kterém bylo před $4,5\cdot 10^{9}$ let 1kg $^{238}_{92}U$

Děkuju za radu :)

darkorbit · 04. 06. 2014 15:47

↑ s-o-k-o-l:

Je tento problém ešte aktuálny?

s-o-k-o-l · 04. 06. 2014 17:35

↑ darkorbit:

Je aktuální ... a stále si s ním nevíme rady :/

darkorbit

↑ s-o-k-o-l:

Bacha, kde píšem 235 myslím 234!!

Skúsil som model, ktorý predpokladá, že urán 238 sa priamo rozpadne na urán 235 (zanedbám tie minúty pri thóriu atď.) a ten sa ďalej rozpadá. Pre U238 platí rozpadová rovnica v tvare
$N_{238}=N_{0}e^{-\lambda _{1}t}$
Kde N_0 je počet atómov na začiatku (definovaný hmotnosťou). Je známe, že rýchlosť rozpadu je úmerná počtu atómov, teda pre U235 platí:
$\frac{dN_{235}}{dt}=-\lambda _{2}N_{235}+|\frac{dN_{238}}{dt}|$
Pretože vzniká rozpadom U238 a sám sa rozpadá. Použijem rovnicu pre U238 a mám
$\frac{dN_{235}}{dt}+\lambda _{2}N_{235}=\lambda _{1}N_{0}e^{-\lambda _{1}t}$
Toto je diferenciálna rovnica pre počet častíc U235, ktorú treba vyriešiť. Pre konštantu platí
$\lambda =\frac{\ln 2}{T}$
A okrajová podmienka na počet U235 je, že na začiatku je ich počet nulový.
Difku sa mi už nechce riešiť, ona sa dá hodiť do počítača (ručne odporúčam variáciu konštánt).

Dúfam, že je to správne (nie som si istý :D ), prajem veľa šťastia.

s-o-k-o-l · 05. 06. 2014 12:40

↑ darkorbit:

Koukám na to a vůbec tomu nějak nerozumím, co kam dosadím i jak se na tu rovnici přišlo. který T se zkrátí ...

darkorbit · 05. 06. 2014 13:33

↑ s-o-k-o-l:

Pri rádioaktívnych rozpadoch platí, že zmena počtu nerozpadnutých jadier za jednotku času je úmerný počtu nerozpadnutých jadier (rozpadajú sa, preto mínus)
$\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t)$
Riešením tejto rovnice mám závislosť počtu nerozpadnutých jadier vo vzorke od času (rovnica pre jadrá 238). To však platí len za predpokladu, že jadrá nevznikajú - jadrá 234 vznikajú rozpadom jadier 238, teda do rovnice treba pridať člen, ktorý bude reprezentovať prírastok jadier 234 za jednotku času - je rovný zmene počtu jadier 238 za jednotku času, pretože predpokladám, že 238 sa rozpadne rovno na 235. To je tá druhá rovnica. Po dosadení všetkých známych veličín vyzerá takto
$\frac{dN}{dt}+\frac{\ln 2}{T_{234}}N=\frac{\ln 2}{T_{238}}\frac{m}{M_{238}}e^{-\frac{\ln 2}{T_{238}}t}$
Kde je:
$T_{234}=2,5 . 10^{5}rokov$ $T_{238}=4,5 . 10^{9}rokov$ $m=1kg$ $M_{238}\approx 238u$
Kde "u" je atómová hmotnostná jednotka - určil som pomocou nej molovú hmotnosť U238.

s-o-k-o-l · 05. 06. 2014 14:09

↑ darkorbit:

Takže neznámé mám t a N ... ale jak z toho dostanu hmotnost, kterou potřebuji?

darkorbit · 05. 06. 2014 14:19

↑ s-o-k-o-l:

Toto je DIFERENCIÁlNA ROVNICA.
Dostaneš z nej závislosť N(t), do ktorej keď dosadíš $t=T_{238}$ , tak dostaneš, koľko atómov 234 je vo vzorke dnes a pretože poznáš hmotnosť jedného atómu vieš aj hmotnosť U234 vo vzorke.

s-o-k-o-l · 05. 06. 2014 15:23

↑ darkorbit:

Dosadil jsem možnosti, pspočetl i za pomocí wolframu a nevyšlo. Vyšlo mi 295 ale podle možností by mělo vyjít
a) 5,6 g
b) 56 mg
c) 28 mg
d) 0,458 $\mu g$

darkorbit

↑ s-o-k-o-l:

Spočítal som ručne a vyšlo mi cca (po použití Taylorových rozvojov) 27,3 mg, takže by som povedal, že to má byť c), môžem sem hodiť postup, ak máš záujem.

Edit: Bez Taylora je to 27,8 mg.

s-o-k-o-l · 05. 06. 2014 15:45

↑ darkorbit:

určitě by mi to pomohlo, protože nevím, co s konstantou c, když to dodělám a furt někde děám hrozně chyb :)

Děkuju moc předem :)

darkorbit

↑ s-o-k-o-l:

Substitúcia $\lambda _{238}=\frac{\ln 2}{T_{238}}$ a analogicky pre U235, $N_{0}=\frac{m}{M_{238}}$ .
Rovnica je teda
$\frac{dN}{dt}+\lambda _{235}N=\lambda _{238}N_{0}e^{-\lambda _{238}t}$
Bez pravej strany
$\frac{dN}{dt}+\lambda _{235}N=0$
$\frac{dN}{N}=-\lambda _{235}dt$
Integráciou mám
$N(t)=C(t)e^{-\lambda _{235}t}$
Teraz hľadám takú C(t), aby vyhovovala prvej rovnici. Najskôr zderivujem rovnicu N(t)=...
$\frac{dN}{dt}=\frac{dC}{dt}e^{-\lambda _{235}t}-\lambda _{235}C(t)e^{-\lambda _{235}t}$
Po dosadení do úplnej rovnice a úprave mám
$\frac{dC}{dt}e^{-\lambda _{235}t}=\lambda _{238}N_{0}e^{-\lambda _{238}t}$
$dC=\lambda _{238}N_{0}e^{(\lambda _{235}-\lambda _{238})t}$
Pre C(t) mám potom (jednoduchý integrál)
$C(t)=\frac{\lambda _{238}}{\lambda _{235}-\lambda _{238}}N_{0}e^{(\lambda _{235}-\lambda _{238})t}+K$
kde "K" je už priamo integračná konštanta, ktorú získam z počiatočných podmienok. Dosadím za C(t) do vyjadrenia N(t) a mám
$N(t)=\frac{\lambda _{238}}{\lambda _{235}-\lambda _{238}}N_{0}e^{-\lambda _{238}t}+Ke^{-\lambda _{235}t}$
Počiatočná podmienka je, že pre t=0s je N(0)=0, teda pre "K" mám po dosadení
$K=-\frac{\lambda _{238}}{\lambda _{235}-\lambda _{238}}N_{0}$
Teda finálna rovnica v mojom prípade je
$N(t)=\frac{\lambda _{238}}{\lambda _{235}-\lambda _{238}}N_{0}(e^{-\lambda _{238}t}-e^{-\lambda _{235}t})$
Teraz už len určiť N(T_238). To chce odsubstituovať a iné voodoo, nechám na čitateľa. Môj výsledok je
$N(T_{238})=\frac{1-2^{1-\frac{T_{238}}{T_{235}}}}{\frac{T_{238}}{T_{235}}-1}\frac{N_{0}}{2}$
Pomocou relat. atómových hmotností už sa to jednoducho prepíše a vypočíta.

Dúfam, že som pomohol.