Matematické Fórum

kaitlyn

Zdravím všechny přítomné,

mohli byste mi prosím poradit? Nevím, jestli následující úlohu řeším dobře!

Nechť $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{z}$ jsou lineárně nezávislé vektory prostoru U. Zjistěte, zda jsou lineárně nezávislé vektory:
$u+v+w, v+w+z, w+z+u, z+u+v$ .

Mé řešení:
$a_1 \cdot (u+v+w) + a_2 \cdot (v+w+z) + a_3 \cdot (w+z+u) + a_4 \cdot (z+u+v) = w$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Vektory jsou LN. Je to ok? Díky :)

vanok · 01. 06. 2014 20:23 — Editoval vanok (01. 06. 2014 20:24)

Ahoj ↑ kaitlyn:,
Vynimocne davam hned cele riesenie (lebo sa mi zda esteticke)
LN vektorov $u+v+w, v+w+z, w+z+u, z+u+v$ mozes dokazat tak, ze dokazes: rovnica
$a_1 \cdot (u+v+w) + a_2 \cdot (v+w+z) + a_3 \cdot (w+z+u) + a_4 \cdot (z+u+v) = \vec 0$ R1
ma jedine riesenie $a_1=a_2=a_3=a_4=0$ .

( a nie to co si vyssie napisala )
Rovnica R1 da ekviv.
$(a_1+a_3+a_4)\vec u+(a_1+a_3+a_4)\vec v+(a_1+a_2+a_3)\vec w+(a_2+a_3+a_4) \vec z=\vec 0$
Co da
$a_1+a_3+a_4=0\\a_1+a_3+a_4=0\\a_1+a_2+a_3=0\\a_2+a_3+a_4=0$

Tento lin. hom.system sa moze riesit GEM, no vsak tu mame okamzite (po sucte vsetkych rovnic à deleni 3my)
$a_1+a_2+a_3+a_4=0$
co da okamzite ( po odcitani kazdej rovnice)
$a_1=a_2=a_3=a_4=0$ .

kaitlyn · 01. 06. 2014 20:32

↑ vanok:,

děkuji mockrát :) Ještě, že Tě tu máme :)

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2014 19:39 — Editoval kaitlyn (01. 06. 2014 19:39)

Lineární nezávislost

#2 01. 06. 2014 20:23 — Editoval vanok (01. 06. 2014 20:24)

Re: Lineární nezávislost

#3 01. 06. 2014 20:32

Re: Lineární nezávislost

Zápatí