Matematické Fórum

Michaela181 · 18. 05. 2014 17:28

Dobrý den. Moc ocením pomoc s tímto příkladem.

Zadání: Nalézt reálné číslo k takové, že vektory u= (...,-3,-1), v=(...,0,-2) a w=(...,-1,3) jsou lineárně závislé.

Andrejka3 · 18. 05. 2014 17:43

Ahoj.
Stačí jedno?

Michaela181 · 18. 05. 2014 18:38

↑ Andrejka3: Ahoj. :-)

Jsou tam na výběr řešení:
A. (-nekonečno, 4)
B. $\langle4, 15/2\rangle$
C. $\langle15/2,23/2\rangle$
D. (23/2, nekonečno)

Vím, že má být správně C, ale nevím, jak to spočítat...

Andrejka3 · 18. 05. 2014 18:58

↑ Michaela181:
Umíš řešit soustavy lineárních rovnic?
$a\cdot u+b\cdot v+c\cdot w=0$
je soustava rovnic s neznámými čísly $a,b,c$ a parametrem $k$ .

Tato soustava má vždycky řešení: stačí, aby $a=b=c=0$ (triviální řešení).
Dejme tomu, že pro nějaké $k$ má jediné řešení (to triviální). Pak by ovšem byly takové u,v,w lin. nezávislé.
Takže hledáš taková $k$ , aby soustava výše měla i jiné řešení.
Stačí?

Michaela181 · 18. 05. 2014 20:13

↑ Andrejka3:

Moc děkuju! :-)
Popravdě tomu moc nerozumím :-/, dá se to prosím vyřešit přes matici?

Andrejka3 · 18. 05. 2014 21:54

↑ Michaela181:
Ano. Tak se řeší soustavy lin. rovnic. Gaussovou eliminační metodou.

Michaela181 · 26. 05. 2014 14:24

↑ Andrejka3:
Děkuju za pomoc.

Michaela181 · 01. 06. 2014 13:49

↑ Andrejka3:
Prosím tě, Andrejko, jsi moc hodná, žes mi sem napsala, jak se to řeší, ale já se pořád nemůžu dobrat k výsledku.
Mohla bys mi prosím napsat postup trochu polopaticky?

Je správně, že si zapíšu matici jako:

-3 0 -1 / 0
-1 -2 3 / 0

gemem mi vyjde:

1 0 -1 / 0
0 1 -1 / 0

A pak nevím, jak se dobrat k řešení: $\langle15/2,23/2\rangle$

vnpg · 01. 06. 2014 14:55

↑ Michaela181:

Ahoj,

můžeme použít fakt, že každá čtvercová matice má nulový determinant právě tehdy, když vektory, které tvoří její sloupce, jsou lineárně závislé. Takže jde o to, vyřešit rovnici $\operatorname{det} \begin{pmatrix} k & k & k \\ -3 & 0 & -1 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} = 0$ s neznámou $k$ .

Pokud jde o ty nabízené možnosti řešení, předpokládám, že je třeba určit, do kterého z uvedených intervalů patří řešení $k$ . Funkce $k \mapsto \operatorname{det} \begin{pmatrix} k & k & k \\ -3 & 0 & -1 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$ je polynomiální funkce $k$ , takže množina jejích kořenů je buď konečná, nebo - v případě konstantního nulového polynomu - se shoduje s celou reálnou osou.

Michaela181 · 01. 06. 2014 19:51

↑ vnpg:
Děkuju, tohle mi pomohlo víc, ale když dosadím za k 23/2 a spočítám determinant, tak mi vyjde 161.
Chyba bude možná v té učebnici.

Matematické Fórum

#1 18. 05. 2014 17:28

Nalézt reálné číslo takové, že vektory jsou LZ

#2 18. 05. 2014 17:43

Re: Nalézt reálné číslo takové, že vektory jsou LZ

#3 18. 05. 2014 18:38

Re: Nalézt reálné číslo takové, že vektory jsou LZ

#4 18. 05. 2014 18:58

Re: Nalézt reálné číslo takové, že vektory jsou LZ

#5 18. 05. 2014 20:13

Re: Nalézt reálné číslo takové, že vektory jsou LZ

#6 18. 05. 2014 21:54

Re: Nalézt reálné číslo takové, že vektory jsou LZ

#7 26. 05. 2014 14:24

Re: Nalézt reálné číslo takové, že vektory jsou LZ

#8 01. 06. 2014 13:49

Re: Nalézt reálné číslo takové, že vektory jsou LZ

#9 01. 06. 2014 14:55

Re: Nalézt reálné číslo takové, že vektory jsou LZ

#10 01. 06. 2014 19:51

Re: Nalézt reálné číslo takové, že vektory jsou LZ

Zápatí