Matematické Fórum

FabulousDeniska · 26. 05. 2014 20:06

Ukázali byste mi postup, jak se příklad řeší?

Určete bod symetrický s bodem (7, 4, -2) podle přímky určené body (-8, -6, 8) a (-3, -4, 4). Poznámka: uvedené body jsou zadány vzhledem k nějakému kartézskému systému souřadnému.

marnes · 26. 05. 2014 22:59

↑ FabulousDeniska:
Pokud jsem dobře pochopil příklad, tak se jedná o to, najít bod osově souměrný podle přímky

1) rovnice přímky
2) rovnice roviny, která je kolmá na přímku (normálový vektor roviny je stejný, jako směrový přímky) a prochází bodem (7, 4, -2) - označím A
3) průsečík přímky a roviny - označím P
4) souřadnice hledaného bodu - označím B - musí platit $P=\frac{A+B}{2}$ jinak řečeno, bod P je střed AB

Rumburak

↑ FabulousDeniska:

Bod $P$ , o němž píše kolega ↑ marnes: , by se dal nalézt i následovně:

1) Snadno sestavíme parametrickou rovnici té přímky $p$ , která je osou symetrie.

2) Bod $P$ leží na přímce $p$ .

3) Je-li $A=[7, 4, -2]$ , potom vektor $P-A$ je kolmý ke směrovému vektoru přímky $p$ .

FabulousDeniska · 01. 06. 2014 19:49

↑ Rumburak:

vyšla jsem z tvého postupu, ale udělala jsem asi někde chybu, protože se mi výsledek moc nezdá..

označím body přímky následovně:
U = (-8, -6, 8)
V = (-3, -4, 4)

směřový vektor přímky
s_p = V - U = (-3, -4, 4) - (-8, -6, 8) = (5, 2, -4)

W_1 = A + s_p =>
param. r-ce přímky je:
x = -8 + 5t
y = -6 +2t
z = 8 - 4t

směrový vektor s_pa
P - A = (p_1, P_2, p_3) - (7, 4, -2) = (p_1 - 7, p_2 -4, p_3 +2)

pokud je směrový vektor s_pa kolmý ke směrovému vektoru přímky, pak musí platit

(p_1 - 7, p_2 -4, p_3 + 2) * (5, 2, -4)

5p_1 - 35 = 0
2p_2 - 8 = 0
-4P3 - 8 = 0

=> p_1 = 7; p_2 = 4; p_3 = -2

což se mi moc nezdá, proč vyšel bod úplně stejně. Kde mám prosím Vás chybu?

zdenek1 · 01. 06. 2014 23:22

↑ FabulousDeniska:
Ten tvůj bod $P$ leží na přímce $w_1$ , takže jeho souřadnice jsou
$P[-8+5t_0;-6+2t_0;8-4t_0]$
dále pokračuješ
$P-A=(-8+5t_0-7;-6+2t-4;8-4t_0+2)$

a pak počítáš skalární součin, který máš mimochodem špatně, tak si někde najdi, jak se počítá a položíš ho roven nule.
Tím určíš hodnotu parametru $t_0$

FabulousDeniska · 02. 06. 2014 11:41

↑ zdenek1:

(-8 + 5t_0 - 7, -6 + 2t_0 - 4, 8 - 4t_0 + 2) * (5, 2, -4) = 0
-40 + 25t_0 - 35 - 12 + 4t_0 -8 -32 + 16t_0 - 8 = 0
t_0 = -3

=> P = (-23, -12, 20)

zdenek1 · 02. 06. 2014 12:17

↑ FabulousDeniska:
První dva řádky vypadají dobře, ale třetí řádek už se mi nelíbí.

FabulousDeniska · 02. 06. 2014 13:28

↑ zdenek1:

co konkrétně je tam špatně?

zdenek1 · 02. 06. 2014 14:13

↑ FabulousDeniska:
řešení rovnice $45t_0=135$

FabulousDeniska · 02. 06. 2014 15:26

↑ zdenek1:

To máš pravdu, ještě jednou děkuji :)

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2014 20:06

Určení symetrického bodu

#2 26. 05. 2014 22:59

Re: Určení symetrického bodu

#3 27. 05. 2014 09:56 — Editoval Rumburak (27. 05. 2014 09:57)

Re: Určení symetrického bodu

#4 01. 06. 2014 19:49

Re: Určení symetrického bodu

#5 01. 06. 2014 23:22

Re: Určení symetrického bodu

#6 02. 06. 2014 11:41

Re: Určení symetrického bodu

#7 02. 06. 2014 12:17

Re: Určení symetrického bodu

#8 02. 06. 2014 13:28

Re: Určení symetrického bodu

#9 02. 06. 2014 14:13

Re: Určení symetrického bodu

#10 02. 06. 2014 15:26

Re: Určení symetrického bodu

Zápatí