Matematické Fórum

hime · 03. 06. 2014 09:14

Zdravím, mám prozbu, pomohl byste mi někdo s řešením tohoto příkladu:

Najděte lokální extrémy funkce jedné proměnné $f(x)=x^{3}-2ax^{2}+a^{2}x$ kde $a>0$ .

Derivace mi vyšla: $f'(x)=3x^{2}-4ax+a^{2}$ , ale netuším, jak pracovat s tím parametrem $a>0$ .
Moc děkuji za pomoc.

kajzlik

Ahoj,

dle nutné podmínky extrému položíš první derivaci rovnou nule, tedy $3x^2 -4ax+a^2 = 0.$ Řešíš rovnici pro x, takže vyjdou 2 kořeny $x_0, x_1$ závislé na parametru. Je to v docela pěkném tvaru, dá se to rozumně upravit, tak to zkus.

Potom pokud druhá derivace $f''(x_0) < 0$ , tak se v bodě $x_0$ nachází maximum, pokud naopak $f''(x_0)> 0$ , je v bodě $x_0$ minimum. Toto je třeba zopakovat samozřejmě pro všechny kořeny rovnice výše s tím, že klasifikace extrému bude záviset na parametru a bude třeba řešit příslušné nerovnice pro parametr $a$ .

Rumburak

↑ hime:

Ahoj.

Postupuj metodicky.

O funkci $f$ víme, že v každém bodě svého definičního oboru (což je celé $\mathbb{R}$ ) má derivaci.
Odtud plyne: má-li v bodě $c \in \mathbb{R}$ lokální extrém, potom

(1) $f'(c) = 0$ .

Jde o kvadratickou rovnici s parametrem. Body $c$ , které rovnici (1) splňují, jsou tzv. stacionární body
funkce $f$ a jejich množina $S_a$ bude záviset na parametru $a>0$ . Je třeba určit množinu $S_a$
a o každém jejím prvku rozhodnout, zda v něm funkce $f$ má extrém, případně kterého druhu.

hime · 04. 06. 2014 10:19

↑ kajzlik:

Z té původní rovnice mi vyšly kořeny: $x_{0}=\frac{a}{3}$ a $x_{1}=a$ . Pak mám tyto kořeny zderivovat podle a? Tzn. $(\frac{a}{3})' = \frac{1}{3}$ a $(a') = 1$ ?

jelena · 04. 06. 2014 15:08

↑ hime:

Zdravím,

pro ověření "kvality" stacionárního bodu můžeš používat znaménko 2. derivace v bodech podezřelých z extrému. Tedy derivovat máš 1. derivaci, ještě před položením derivace 0, ale ne nalezené kořeny. Kolegové tuto metodiku ověřování popisuji.

Jak vyšla 2. derivace? Děkuji.

Rumburak

↑ hime:

Kořeny $x_{0}=\frac{a}{3}, x_{1}=a$ se nederivují, ale v těchto bodech se derivuje funkce $f'$
s cílem zjistit hodnoty $f''(x_0) , f''(x_1)$ (závislé ovšem na parametru $a$ ) a podle
jejich znamének přípdně rozhodnout, zda v některém z bodů $x_{0}, x_{1}$ má funkce $f$ extrém
a kterého druhu. Smyslem úlohy je diskuse extrémů funkce $f$ vzhledem k parametru $a$ .

V zásadě, byť jinými slovy, to už vyjádřila kolegyně Jelena, již zdravím.

hime · 04. 06. 2014 16:35

↑ Rumburak:
Tudíž do první derivace dosadím za hodnotu $x$ hodnotu $x_{0}$ a $x_{1}$ a tyto funkce pak zderivuji?

Takto? $f'(x_{0}) = (3(\frac{a}{3})^{2}- 4a(\frac{a}{3}) + a^{2})' = 0$ a $f'(x_{0}) = (3a^{2}-4a(a)+a^{2})' = 0$

Rumburak · 04. 06. 2014 17:15

↑ hime:

Takto NE. Přehledně to shrňme:

Byla dána funkce $f(x)=x^{3}-2ax^{2}+a^{2}x$ závislá na parametru $a$ .

Spočítala jsi její první derivaci $f'(x)=3x^{2}-4ax+a^{2}$ a z rovnice $f'(x) = 0$ jsi získala
stacionární body $x_{0}$ a $x_{1}$ závislé na parametru $a$ - můžeme je přesněji označit $x_{0}(a), x_{1}(a)$ .

Nyní máš spočítat ještě druhou derivaci funkce $f$ , tj. zjistit $f''(x)= ...$ , a posoudit co do znamének
její hodnoty v již nalezených stacionárních bodech $x_{0}(a) , x_{1}(a)$ , tedy hodnoty $f''(x_0(a)), f''(x_1(a))$ ,
které, jak patrno, rovněž budou závislé na parametru $a$ , též jejich znaménka. Smyslem úlohy je
učinit z tobo závěry o lok. extrémech funkce $f$ v závislosti na tom $a$ . Pakliže například zjistíme,
že pro některé hodnoty $a$ bude $f''(x_0(a)) > 0$ , můžeme učinit závěr, že pro tato $a$ má funkce $f$
v bodě $x_0(a)$ lokální minimum - viz příslušná věta z diferenciálního počtu.

hime · 04. 06. 2014 17:52

↑ Rumburak:
Takže původní funkci zderivuji na: $f'' (x) = 6x-4a$ a tím pádem získám: $f'' (x_{0}) = 6\frac{a}{3}-4a = -2a$ a $f'' (x_{1}) = 6a-4a = 2a$ . Z toho v závislosti na $a >0$ vyplývá, že funkce má v bodě $x_{0}$ lokální maximum a v bodě $x_{1}$ lokální minimum?