Matematické Fórum

Paulo · 03. 06. 2014 11:02

Ahoj, mohl by mi někdo poradit s výpočtem normy funkcionálu? Vůbec nevim jak postupovat, mám toto zadání:

najděte normu funkcionálu:
$T\{x_n\}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nx_n$ na prostoru $l^1$

Bati · 03. 06. 2014 11:31

Ahoj,
jedná se o jednoduché cvičení, začni tím, že si napíšeš, jak vypadá norma v prostoru $l^1$ . Pak zjisti:

Je T dobře definovaný? (Tj. konverguje řada napravo pro lib. posl. z $l^1$ ?)

Je T lineární?

Je T spojitý, resp. omezený? (Triviální odhad)

Je získaný odhad ||T|| nejmenší možný? (V tomto příkladě lze dokonce nalézt prvky prostoru $l^1$ , ve kterých se normy nabývá)

Rumburak

↑ Paulo:

Ahoj. Norma v $l^1$ je - pokud si dobře vzpomínám

$||x|| =\sum_{n=1}^{\infty}|x_n| , x = (x_n)$ .

Odtud plyne $|T(x)| \le ||x||$ . Co můžeme říci o $||T||$ ?

A když najdeme posloupnost $y \in l^1$ splňující $|T(y)| = ||y||$ , co budeme moci prohlásit ?