Matematické Fórum

SM · 03. 06. 2014 20:28 — Editoval jelena (04. 06. 2014 09:43)

Ahoj, potřeboval bych poradit s timhle typem zadani:

Mam vypočítat derivaci funkce f. V bodě x=0 vypočítat jednostranné derivace a rozhodnout zda v tom bodě existuje derivace

Jelena: edit: opravené zadání

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/26505_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.JPG

původní zápis:

$f(x)= arccotg x -\pi /2x$ $x\in (-\infty ;0>$
$x^{2}+4x$ $x\in (0;\infty )$

(maji tam byt takovy ty slozeny zavorky, nevim jak to tady udelat)

nasel jsem vzorecek $f(derivace)(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))/(x-x_{0})$

ale porad mi to nevychazi, dekuji za pomoc

Sherlock · 03. 06. 2014 21:44

Zdravím, ano, využijeme definici derivace, v našem případě zleva.

Máme: $\lim_{x\to0-}\frac{f(x)-f(0)}{x}$ ,

kde
$f(x)= arccotg x -\frac{\pi }{2}x$
$f(0)= arccotg 0 -\frac{\pi }{2}\cdot 0=\frac{\pi }{2}$

Řešíme tedy $\lim_{x\to0-}\frac{\text{acotg}x-\frac{\pi }{2}x-\frac{\pi }{2}}{x}$

Došel jsi k tomu samému?

SM · 03. 06. 2014 22:16

..ted jsem si všimnul, ze jsem spatne napsal zadani, melo to byt

$f(x)=arccotg x - \frac{\pi}{2}$ (bylo tam x navic)

takze vyledek by mel byt

$\lim_{x\to0-} \frac{arccotg x - \frac{\pi }{2}}{x}$

k tomu jsem dosel, udelal jsem to same i ve druhe casti, to by melo vyjit

$\lim_{x\to0+} \frac{x^{2}+4x}{x}$

ale ted nevim co dal.

puvodni zadani vypada takhle:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/26505_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.JPG

Sherlock

Ajo takhle. Tak derivace bude vypadat:

$f'(x)$
$f_{1}'(x)=-\frac{1}{1+x^{2}}$ pro $x\in (-\infty ,0)$
$f_{2}'(x)=2x+4$ pro $x\in (0,\infty )$

Mám dojem že pak platí: Naše funkce má v bodě 0 derivaci právě když platí $\lim_{x\to0-}f_{1}'(x)=\lim_{x\to0+}f_{2}'(x)$

Tyhle limity mi vyšly jinak, tudíž derivace v daném bodě neexistuje

V tomto poli si avšak nejsem na 100% jist. Podobný příklad je řešen zde.

SM · 03. 06. 2014 22:35

jo tak, takze napred normalne derivovat a az potom delat tu definici....

diky za pomoc

Sherlock

Dodám ještě důležitý předpoklad pro diferencovatelnost funkce: Funkce má v bodě X derivaci jen když je v tomto bodě spojitá. (což tahle funkce není.)

Ideální by bývalo bylo prvně prozkoumat spojitost původní funkce, a jestli je spojitá, prozkoumat spojitost její první derivace.

jelena · 04. 06. 2014 09:48

Zdravím,

Funkce má v bodě X derivaci jen když je v tomto bodě spojitá. (což tahle funkce není.)

pokud jsem správně pochopila poslední příspěvek, zadanou funkci nepovažujete za spojitou (mně vyšla, že v místních definicích arccotg spojitá je - souhlasíte?) Raději to ještě překontrolujte (další vyšetření derivace v bodě 0 by to snad ovlivnit nemělo). Zadání jsem vložila i do 1. příspěvku.

Sherlock

↑ jelena:

Mně vyšlo že naše funkce není spojitá v jediném bodě, v nule. Má v ní odlišné limity zprava a zleva:

$\lim_{x\to0-}\text{acotg}x-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=-\pi$
$\lim_{x\to0+}x^{2}+2x=0$

jelena · 04. 06. 2014 15:03 — Editoval jelena (04. 06. 2014 15:11)

↑ Sherlock:

děkuji, funkce arccotg je zrádná, co do definice. Jaký bereš definiční obor a obor hodnot pro arccotg(x)? Případně kterou definici používáš? Děkuji.

Sherlock · 04. 06. 2014 19:43

↑ jelena:

Zdravím, použil jsem arccotg, který mi vykresluje můj grafovací program (Graph) a který je definován ve Wolframu.

Nejsem z toho moc rád že existuje víc odlišných definic arccotg :(

jelena · 04. 06. 2014 20:53

↑ Sherlock:

děkuji, bohužel zrovna u arccotg je s definici problém - viz postoj kolegy Jarrro :-) Tak to ještě případně dodiskutuj dle místních definicí (viz obrázky), pokud je zájem. Dalším problémem "místní definice" oproti WA je def. obor liché odmocniny.

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2014 20:28 — Editoval jelena (04. 06. 2014 09:43)

derivace funkce

#2 03. 06. 2014 21:19 Příspěvek uživatele Sherlock byl skryt uživatelem Sherlock. Důvod: chyba

#3 03. 06. 2014 21:44

Re: derivace funkce

#4 03. 06. 2014 22:16

Re: derivace funkce

#5 03. 06. 2014 22:29 — Editoval Sherlock (03. 06. 2014 22:32)

Re: derivace funkce

#6 03. 06. 2014 22:35

Re: derivace funkce

#7 03. 06. 2014 22:50 — Editoval Sherlock (03. 06. 2014 22:51)

Re: derivace funkce

#8 04. 06. 2014 09:48

Re: derivace funkce

#9 04. 06. 2014 14:48 — Editoval Sherlock (04. 06. 2014 14:48)

Re: derivace funkce

#10 04. 06. 2014 15:03 — Editoval jelena (04. 06. 2014 15:11)

Re: derivace funkce

#11 04. 06. 2014 19:43

Re: derivace funkce

#12 04. 06. 2014 20:53

Re: derivace funkce

Zápatí