Matematické Fórum

hime · 02. 06. 2014 12:11

Zdravím, potřebovala bych poradit s postupem pro následující příklad:

Pomocí logaritmické derivace zderivujte funkci: $y = 2x^{\sqrt{x}}$ pro $x > 0$

Děkuji za pomoc.

Jj · 02. 06. 2014 12:25

↑ hime:

Dobrý den. Postup třeba tady: Odkaz

Rumburak

↑ hime:

Ahoj.

Metoda je založena na úpravě

$f^g = \exp (\ln f^g) = \exp (g \ln f) , f > 0$ .

Jsou-li $f, g$ funkce, potom výsledný výraz $\exp (g \ln f)$ je už možno derivovat pomocí vět
o derivaci složené funkce a součinu funkcí.

hime · 04. 06. 2014 10:46

Pochopila jsem to správně a postup je tento?

1) zlogaritmovat "y"
$ln(y) = \sqrt{x} \cdot ln(2x)$

2) zderivovat zlogaritmovanou funkci
$(\sqrt{x} \cdot ln(2x))' = ln(2x)\cdot (\sqrt{x})'+ (\sqrt{x})\cdot (ln(2x))'$
$= \frac{ln(2x)}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{ln(2x)}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{ln(2x)+2}{2\sqrt{x}}$

3) vynásobit původní funkcí
$\frac{(ln(2x)+2)\cdot 2x^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

Je toto správný výsledek?

Jj · 04. 06. 2014 11:32

↑ hime:

Dobrý den, řekl bych, že postup v zásadě dobře, jen máte chybu už v logaritmování funkce
$y = 2x^{\sqrt{x}}\Rightarrow \ln y = \ln 2 + \ln x^{\sqrt{x}}=\cdots$

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2014 12:11

derivace funkce pomocí logaritmické derivace

#2 02. 06. 2014 12:25

Re: derivace funkce pomocí logaritmické derivace

#3 02. 06. 2014 12:26 — Editoval Rumburak (02. 06. 2014 12:27)

Re: derivace funkce pomocí logaritmické derivace

#4 04. 06. 2014 10:46

Re: derivace funkce pomocí logaritmické derivace

#5 04. 06. 2014 11:32

Re: derivace funkce pomocí logaritmické derivace

Zápatí