Matematické Fórum

kaitlyn

Ahoj matematici,

prosím vás ověřila jsem správně vlastnost $\forall u, v \in U: \hspace{0.1cm} A(u + v) = A(u) + A(v)$ lineárního zobrazení $A: \mathbb{R}_2[x] \rightarrow \mathbb{R}_2[x]$ , $(Af)(x) = x \cdot f'(x)$ ?

$(Af)(x) = x \cdot (2 \cdot a_2x + a_1) = 2 \cdot a_2x^2 + a_1x$

$(Af)(x + y) = 2 \cdot a_2 \cdot (x+y)^2 + a_1 \cdot (x+y) = 2 \cdot a_2 \cdot (x^2 + 2xy + y^2) + a_1x +a_1y = 2 \cdot a_2x^2 + 4 \cdot a_2xy + 2 \cdot a_2y^2 + a_1x +a_1y$
$(Af)(x) + (Af)(y) = 2 \cdot a_2x^2 + a_1x + 2 \cdot a_2y^2 + a_1y$ .

Tedy $(Af)(x + y) \neq (Af)(x) + (Af)(y)$ .

Děkuji pěkně :)

Rumburak

↑ kaitlyn:

Ahoj. To zadání mi není zcela srozumitelné - netuším, co mají být množiny $\mathbb{R}_2[x] , U$ .
Ale podle definice $(Af)(x) = x \cdot f'(x)$ operátoru $A$ mi připadá, že $f$ má být funkce proměnné x
taková, aby v každém bodě svého definičního oboru (ale nevím, jakého) měla vblastní derivaci.

Měla bys proto dokazovat , že pro libovolné funkce $f, g$ z uvažovaného lineárního prostoru (netuším kterého)
a libovolný skalár $\lambda$ platí $A(f+g) = Af + Ag , A(\lambda f) = \lambda Af$ .
Tedy: sčítat se mají funkce a nikoliv jejich argumenty.

kaitlyn

Ahoj ↑ Rumburak:,

omlouvám se, jsem z toho sama trochu zmatená :D

Takhle jsem to myslela. Obecně mám lineární zobrazení ve tvaru: $A: U \rightarrow V$ , kde U a V jsou vektorové prostory. $\mathbb{R}_2[x]$ je polynom stupně nejvýše 2.

Rumburak · 04. 06. 2014 18:09

↑ kaitlyn:
Začínám se chytat:

$\mathbb{R}_2[x]$ je VEKTOROVÝ PROSTOR všech polynomů v ptoměnné x stupně nejvýše 2.

Máme definováno zobrazení $A : \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x]$ definované předpisem $(Af)(x) = x \cdot f'(x)$
(tedy polynomu $f(x) \in \mathbb{R}_2[x]$ je přiřazen polynom $x \cdot f'(x) \in \mathbb{R}_2[x]$ )
a máme zjistit, zda toto zobrazení je lineární .

Platí tedy ta doporučení, která jsem podal ve svém pžedchozím příspěvku.

vanok · 04. 06. 2014 18:31 — Editoval vanok (05. 06. 2014 08:42)

Pozdravujem ↑ Rumburak:
Pridam len toto:
$A : \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x]$
$[f:x\mapsto f(x)] \mapsto [A(f):x \mapsto x.f'(x)]$
Dufam ze aj kolegyni bude toto schema jasne.
Dobre pokracovanie,

kaitlyn · 04. 06. 2014 23:10

↑ Rumburak:, ↑ vanok:

Už mi to, myslím, docvaklo :) Já jsem celou dobu pracovala s proměnnými $x, y$ , místo s funkcemi $f(x), g(x)$ , že?
Je fakt, že když počítáte dlouho příklady, pak už si neuvědomíte ani to základní!!! Tady jsem to měla celou dobu černé na bílém (možná spíš bílé na černém :D)

Aditivitu tedy dokazuji takto:
$A(f(x) + g(x)) = x \cdot (f'(x) + g'(x)) = x \cdot f'(x) + x \cdot g'(x) = A(f(x)) + A(g(x))$ ?

vanok · 05. 06. 2014 08:58

Pozor f, g su funkcie
f(x), g(x) su fodnoty funkcii.
Dokaz rediguj napr takto pré kazdu funkciu f, g $f(x) \in \mathbb{R}_2[x]$ a pre kazde $x \in\mathbb{R}$ ( to preto lebo potrebujes hodnoty tvojich polynomialnych funkcii)mame:
$A(f +g)(x)=A(f(x) + g(x)) = x \cdot (f'(x) + g'(x)) = x \cdot f'(x) + x \cdot g'(x) = A(f(x)) + A(g(x))=(A(f)+A(g))(x)$
Co da $A(f +g)=(A(f)+A(g))$ .
Poznamka, treba byt jasny a vyjadrit presne co bolo pytane!

Doporucujem podobnu redakciu aj pre druhu cast dokazu.

Poznamka 2: $\mathbb{R}_2[x]$ ? je tu pouzite ako asociovana polynomialna funkcia.

Pozdravujem este kolegu ↑ Rumburak: a prosim za prepacenie je za tuto intruziu.

Rumburak

↑ vanok:
Také zdravím. Není důvod se omlouvat, naopak já děkuji, že jsi se tématu ujal
během mé nepřítomnosti na www i za některá upřesnění ohledně symboliky.

kaitlyn · 07. 06. 2014 17:30

Díky vám oběma :-)
Budu se snažit vyjadřovat se přesněji...

Matematické Fórum

#1 04. 06. 2014 17:03 — Editoval kaitlyn (04. 06. 2014 18:19)

Homomorfismus

#2 04. 06. 2014 17:34 — Editoval Rumburak (04. 06. 2014 17:36)

Re: Homomorfismus

#3 04. 06. 2014 17:42 — Editoval vanok (04. 06. 2014 18:22) Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Duplicita

#4 04. 06. 2014 17:46 — Editoval kaitlyn (04. 06. 2014 18:20)

Re: Homomorfismus

#5 04. 06. 2014 17:56 — Editoval kaitlyn (04. 06. 2014 18:16) Příspěvek uživatele kaitlyn byl skryt uživatelem kaitlyn. Důvod: Mimo téma.

#6 04. 06. 2014 18:09

Re: Homomorfismus

#7 04. 06. 2014 18:31 — Editoval vanok (05. 06. 2014 08:42)

Re: Homomorfismus

#8 04. 06. 2014 23:10

Re: Homomorfismus

#9 05. 06. 2014 08:58

Re: Homomorfismus

#10 05. 06. 2014 09:32 — Editoval Rumburak (05. 06. 2014 10:31)

Re: Homomorfismus

#11 07. 06. 2014 17:30

Re: Homomorfismus

Zápatí