Matematické Fórum

Icra · 04. 06. 2014 22:49

Součet všech řešení goniometrické rovnice $\sqrt{2} sin\frac{x}{2}= -sinx$ v intervalu (0;2 $\pi$ ) je ?

Řešila jsem to pomocí substituce u= x/2 (podle obdobného příkladu zde z fóra), poté součtovým vzorcem a nakonec mi vyšlo, že cos = - $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Nicméně jsem se nedobrala ke správnému výsledku... Mělo by to vyjít $\frac{3}{2}\pi$

Moc děkuji za pomoc :))

marnes · 04. 06. 2014 22:51

↑ Icra:
napiš celé řešení, jen tak půjde najít chyba

Holisek · 04. 06. 2014 23:05

Ja bych tam substituci nedaval a pouzil jen vzorec na polovicni uhel a pak uz to jen upravil.

Icra · 04. 06. 2014 23:28

$\sqrt{2}sin \frac{x}{2}= -sin x$
$u=\frac{x}{2}$
$\sqrt{2}sin u= -sin 2u$
$\sqrt{2}sin u= -sin u \cdot cosu$
$-\frac{\sqrt{2}}{2}= cos u$
Tak a teď jsem si vyznačila na jednotkové kružnici ty úhly $u_{1}=\frac{3\pi }{4}$ $u_{2}=\frac{5\pi }{4}$
dál jsem si moc nebyla jistá, jak ze substituce vybruslit, takže:
$\frac{3\pi }{4}= \frac{x}{2}$
$x_{1} = \frac{3\pi }{2}$

$\frac{5\pi }{4}= \frac{x}{2}$
$x_{2} = \frac{5\pi }{2}$

zdenek1 · 04. 06. 2014 23:33

↑ Icra:
1. chyba na 4. řádku $\sqrt2\sin u=-2\sin u\cos u$
2. chyba při přechodu ze 4. na 5. nesmíš dělit sínem, ale musíš vše převést na jednu stranu, a pak vytknout

Icra · 04. 06. 2014 23:40

↑ Holisek:

Ano, ten vzorec jsem se taky pokoušela použít. Jenže mám pocit, že ve škole jsme s tím nepracovali... No ale taky mi to nevyšlo. :D

Icra · 04. 06. 2014 23:43

↑ zdenek1:↑ zdenek1:

Moc díky, a pak s tou substitucí to dělám dobře?

zdenek1 · 04. 06. 2014 23:50

↑ Icra:
Jo, substituce se drž.
To, co ti navrhuje ↑ Holisek:, by v zásadě fungovalo, ale je tam několik "pastí", na které se musí dávat pozor - jsou tam odmocniny, umocňuješ, a tak se musíš starat o podmínky. To jsou zbytečné komplikace.

Icra · 04. 06. 2014 23:55

↑ zdenek1:
Ok, děkuji. Jen jsem myslela, jestli ten další postup se substitucí je dobře, protože si tím vůbec nejsem jistá... :)

zdenek1 · 05. 06. 2014 00:00

↑ Icra:
Jaký další postup. Od 4. řádku je to špatně.
Budeš to muset předělat.

Icra · 05. 06. 2014 00:07

↑ zdenek1:
To ano, ale jestli ten úkon, jak se dostat z té subtituce je správný. Už jsem to předělala a nevychází mi to. :D Takže nevím jestli tohle dělám správně.
Viz z předchozího příkladu:
$\frac{3\pi }{4}= \frac{x}{2}$
$x_{1} = \frac{3\pi }{2}$

$\frac{5\pi }{4}= \frac{x}{2}$
$x_{2} = \frac{5\pi }{2}$

gadgetka · 05. 06. 2014 00:16

Krásné brzké ráno, zkus to takto:
$\sqrt{2}\sin u= -2\sin u \cdot \cos u$
$\sqrt{2}\sin u+2\sin u \cdot \cos u=0$
$\sin u(\sqrt 2+2\cos u)=0$

Icra · 05. 06. 2014 00:23

↑ gadgetka:

Moc děkuji, ale to už dávno mám. :D Mám i vypočítané ty úhly. Dělám blbě ten převod z u na x. Kdybyste byla tak hodná a poradila mi tady s tím. :)

gadgetka · 05. 06. 2014 01:13

$1. \enspace \sin u=0\Rightarrow u=k\pi$
$x=2u\Rightarrow x_1=2k\pi$

$2. \enspace \cos u=-\frac{\sqrt 2}{2}$
$u_0=\frac{\pi}{4}$
$u_1=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$
$u_2=\frac{5\pi}{4}+2k\pi$
protože funkce kosinus je záporná ve II. a III. kvadrantu a 180°-45°=135° a 180°+45°=225°

$x=2u\Rightarrow$
$x_2=\frac{3\pi}{2}+4k\pi$
$x_3=\frac{5\pi}{2}+4k\pi$

Ale protože je úhel definovaný pouze od nuly do 360°, který do intervalu nespadá, jediným řešením je $x_2$ bez násobku period. :)