Matematické Fórum

MatematickyZlocinec · 05. 06. 2014 16:22

Zdravim,

Chci se zeptat jestli je neco proti necemu pokud mi po prepoctu vyjdou stejna horni i dolni mez jako na obrazku. Videl jsem tenhle priklad pocitany skrze per partes, ale takhle mi to prijde jednodussi. Nanestesti netusim jestli to necemu neodporuje.

http://tinypic.com/r/5xoc9e/8

jelena · 05. 06. 2014 18:43

Zdravím,

celkem se obíráš o kvalitní komentáře kolegů zřejmě proto, že si nedáš práci alespoň s přepisem zadání. Potom tak akorát budeš číst mé komentáře.

Zadání: $\int_0^{3\pi}$2+\sin^2 x$\cos x \d x$

problém s výpočtem nemáš - použil jsi substituci $\sin x=t$ a problém nastává při změně mezí. Můj názor je takový:

funkce je sudá s periodou $2\pi$ , ale na zadaném intervalu máme 3 dvojice k sobě opačné plochy pod křivkou grafu, tedy na zadaném intervalu do $0$ do $3\pi$ máme 3 úseky (vždy po $\pi$ ), na kterých se dojde k "vyrušení" kladných a záporných hodnot a výsledkem integrování je 0.

Ovšem tento závěr plyne z obrázku - což není důkaz (bez obrázku nebo podrobnějšího šetření funkce lze usoudit pouze o sudosti a o periodě funkce a lze "odstranit část, která je k sobě v protisměru a při integrování dá 0). Potom zůstává jeden interval, na kterém ale substituce není od 0 do 0, ale $-1\leq t\leq1$ , tedy jak se dá odůvodnit jinak důsledek záměny mezí - to se ptám kolegů. Kolegům děkuji.

jarrro · 05. 06. 2014 21:34 — Editoval jarrro (12. 06. 2018 23:36)

kde je problém ? veta o substitúcii vraví, že nové medze budú rovnaké to podľa mňa nie je problém vždy sa dá vrátiť spať k pôvodnej premennej a dostaneme
$\[2\sin{x}+\frac{\sin^3{x}}{3}\]_{0}^{3\pi}=$0+0$-$0+0$=0$
dokonca pre každú spojitú (iste stačí slabší predpoklad ale u spojitosti je istota) funkciu $f$ na každom intervale tvaru $\left\langle0, c\right\rangle$
je $$\forall k\in\mathbb{N}$$\int\limits_{0}^{k\pi}{f{\(\sin{\(x$}\)}\cos{$x$}\mathrm{d}x}=0\)$

jelena · 05. 06. 2014 23:02

↑ jarrro:

děkuji, rozumím tomu tak, že kolega jen chtěl vysvětlil, zda je to možné (jen to nepodal v přehledné formě). U nich v materiálech je to i v příkladu 2.4.3 (jen s překlepem v odkazu na definici).

Ale uznej sám, že na jednu stranu zápis $\int_0^0 f(x)\d x$ působí podivně, na druhou stranu co jiného může vzniknout z určitého integrálu nad úsečkou nulové délky, než 0? Ještě bych doplnila, že nulový výsledek bychom neměli, pokud by byl požadavek počítat obsah obrazců vymezovaných osou x a uvedenou funkci.

MatematickyZlocinec · 06. 06. 2014 14:58

Dekuji obema.

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2014 16:22

Urcity integral - meze jsou si rovny

#2 05. 06. 2014 18:43

Re: Urcity integral - meze jsou si rovny

#3 05. 06. 2014 21:34 — Editoval jarrro (12. 06. 2018 23:36)

Re: Urcity integral - meze jsou si rovny

#4 05. 06. 2014 23:02

Re: Urcity integral - meze jsou si rovny

#5 06. 06. 2014 14:58

Re: Urcity integral - meze jsou si rovny

Zápatí