Matematické Fórum

Vektor111 · 05. 06. 2014 16:37

Dobry den, mam za ulohu dokazat Bolzanovu vetu. Vedeli by ste mi pomoct ako na to?

Bati · 05. 06. 2014 17:08

↑ Vektor111:
Ahoj,
BUNO můžeš předpokládat $f(a)<0<f(b)$ . Nyní potřebuješ ukázat, že ex. $c\in(a,b)$ tak, že $f(c)=0$ . Definuj si množinu $M:=\lbrace x\in[a,b]:f(x)\leq0\rbrace$ a dokaž, že $c:=\sup M$ je hledaný bod.

Vektor111

to c nie je nahodou z intervalu 〈a, b〉 ? aj na wikipedii to tak je

Bati · 05. 06. 2014 17:22

↑ Vektor111:
Předpokládáme, že $f(a)\neq0\neq f(b)$ , takže případy $c=a$ nebo $c=b$ nemohou nastat.

Vektor111 · 05. 06. 2014 17:24

aha ano, takze zadefinujeme si mnozinu M ako ste ju vyssie napisali a co dalej? Ako to dokazem? Sporom alebo priamo?

Bati · 05. 06. 2014 17:26

↑ Vektor111:
Přímo, nejprve je třeba ověřit, že to supremum vůbec existuje (konečné). To zvládneš?

Vektor111 · 05. 06. 2014 17:27

myslim ze nie, ako na to?

Bati · 05. 06. 2014 17:33

↑ Vektor111:
Použiješ axiom suprema: M je neprázdná, protože zřejmě obsahuje bod $a$ . Dále je M shora omezená $b$ , neboť je částí konečného intervalu $[a,b]$ . Dle AS tedy $c$ existuje a platí $c\in[a,b]$ , dokonce $c\in(a,b)$ , jak jsme zjistili.

Nyní potřebujeme využít spojitosti f. K tomu nejprve sestrojíme posloupnost $c_n\in[a,b]$ , která splňuje toto:
1) $c-\frac1n<c_n\leq c$
2) $c_n\in M$ ,
kde $n\in\mathbb{N}$ je tak velké, aby $c-\frac1n$ patřilo do $[a,b]$ . Zkus zdůvodnit, proč taková posloupnost existuje.

Vektor111 · 05. 06. 2014 17:42

Tak to netusim .. ta postupnost ma trochu dostala, je konecna alebo nekonecna? Aku ulohu hra v dokaze?

Bati · 05. 06. 2014 17:54 — Editoval Bati (05. 06. 2014 17:56)

↑ Vektor111:
Nekonečná, jiné nás zajímat nemusí. Potřebujeme totiž posloupnost, která konverguje k c zleva a zároveň všechny její členy patří do M. Tu konvergenci zaručuje podmínka 1), protože $c-\frac1n\to c$ pro $n\to\infty$ . Jde hlavně o to, jestli lze splnit podmínku 2). Až ukážeme, že ano, je to jednoduché:
Protože f je spojitá a $c_n\to c$ , platí $f(c_n)\to f(c)$ . Zároveň, protože $c_n\in M$ pro každé n, je $f(c_n)\leq0$ pro všechna n (viz definice M), a tedy i $f(c)\leq0$ . Zbývá ukázat, že $f(c)\geq0$ , což se dělá analogicky...zkus si to!

A ta podmínka 2) splnit lze, neboť pokud by existovalo $n\in\mathbb{N}$ takové, že mezi body $c-\frac1n$ a $c$ neleží žádný bod z M, dostáváme spor s definicí suprema jakožto nejmenší horní závory (např. $c-\frac{1}{2n}$ by byla menší).

Vektor111 · 05. 06. 2014 18:16

ok, idem si to skusit. a to je cely dokaz?

Bati · 05. 06. 2014 18:22 — Editoval Bati (05. 06. 2014 18:22)

↑ Vektor111:
No udělal jsem celou půlku, tj. $f(c)\leq0$ . Tobě jsem nechal ukázat $f(c)\geq0$ , z čehož dohromady plyne $f(c)=0$ , což jsme chtěli.
V té druhé části sestrojíš posloupnost, která konverguje k c zprava a její členy nepatří do M, jinak je to skoro stejné.
Ještě si pak všimni, že místo 0 jsme mohli vzít libovolný bod mezi $f(a)$ a $f(b)$ a důkaz by prošel stejně. Čili jsme vlastně dokázali větu o nabývání mezihodnot (nebo Darbouxovu větu).

vanok · 05. 06. 2014 19:01

Mala poznamka:
Na dokaz sa da pouzit vdaka topologii conexita a vlasnosti spojitych funkcii.
Alebo aj Metoda dichotomie ( =Polenia intervalov)
...

Vektor111

takze moj pokus:
Musime ukazat ze $f(c)\geq0$ a tiez zostrojit postupnost ktora konverguje k c zprava a jej cleny nepatria do M. Takze najprv si zadefinujeme mnozinu M: $M:=\lbrace x\in[a,b]:f(c)\geq0\rbrace$
Takze ja myslim ze postupnost $c_n\in[a,b]$ musi splnat nasledujuce podmienky:
1, $c<c\leqc_n <c+\frac1n$
2, $c_n$ nepatri do $M$

Myslim ze $c+\frac1n\to c$ pre $n\to\infty$ zprava. Dalej f je spojita, takze $c_n\to c$ , plati $f(c_n)\to f(c)$ zprava

Bati · 05. 06. 2014 22:07

↑ Vektor111:
Ale jak jsi definoval c? Pokud jako $\sup M$ , tak přece $c=b$ , protože $f(b)>0$ - představ si to na obrázku. To asi nechceš. Buď tedy vezmeš infimum z té tvé množiny, anebo, (tak jsem to myslel) necháš množinu M tak jak jsem ji definoval já a bod c rovněž. Pokud přece jenom to budeš dělat jinak, tak označuj pro přehlednost jiné věci jinými symboly, např. tu tvou množinu N, posloupnost d_n apod.

Vektor111

Tak nechame mnozinu M ktoru ste zostrojili: $M:=\lbrace x\in[a,b]:f(x)\leq0\rbrace$
teraz musia byt splnene tieto dve podmienky???
1, $c<c\leqc_n <c+\frac1n$
2, $c_n$ nepatri do $M$

Rumburak

↑ Vektor111:

Ahoj.

Pokud Ti důkaz výroku $f(c)=0$ přes ty posloupnosti činí problém, můžeš postupovat i jinak, a sice sporem.
Předpokládej, že $f(c)\ne 0$ , takže buďto $f(c) < 0$ nebo $f(c) > 0$ . Ukaž, že každá z těchto dvou variant
je ve sporu s předpokladem, že $c = \sup M$ . K tomu si připoměň definici suprema a spojitosti funkce.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Tím bude důkaz B. věty dokončen.

Na základě takto získané zkušenosti se pak můžeš vrátit k té metodě využívající posloupností.

Vektor111 · 06. 06. 2014 10:17

dokaz pomocou postupnosti mi nerobi problem, chapem pointu o co tam zhruba ide len ho neviem akosi zostrojit, potreboval by som ho najprv vidiet aby som tomu dobre porozumel.

Bati · 06. 06. 2014 10:43

↑ Vektor111:
Ok, necháme M jak píšeš a c taky, tedy jako její supremum. Tu posloupnost jsi zvolil správně, teď je třeba si zase uvědomit, že ty její členy takto zvolit lze - aby nepatřily do M. (Pokud by to nešlo tak zase dostáváme spor s def. suprema, protože c už by nebyla horní závora - rozmysli si!). Nyní už zbývá jen využít tu spojitost a vlastnost prvků M, jako v předchozím případě.

Vektor111

takze

$M:=\lbrace x\in[a,b]:f(x)\leq0\rbrace$

1, $c<c\leqc_n <c+\frac1n$
2, $c_n$ nepatri do $M$

f je spojita takze $c_n\to c$ plati: $f(c_n)\to f(c)$ a z toho vieme ze $f(c)\geq0$ ??

Bati · 06. 06. 2014 10:50

↑ Vektor111:
Jo, to je přesně Heineho definice spojitosti. Co teď platí pro všechny $f(c_n)$ ?

Vektor111 · 06. 06. 2014 10:52

no nie som si uplne isty ale kedze sa $f(c_n)$ priblizuje ku $f(c)$ tak myslim ze sa rovna $f(c)$ ?

Bati · 06. 06. 2014 10:55

No to už víme, že $f(c_n)\to f(c)$ pro $n\to\infty$ . Ale teď se právě použije to, že členy $c_n$ nepatří do M, z čehož plyne, že $f(c_n)$ ....?

Vektor111

z coho plynie ze $f(c_n)$ pre vsetky n je vacsie ako prvky z M ?

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2014 16:37

Bolzanova veta

#2 05. 06. 2014 17:08

Re: Bolzanova veta

#3 05. 06. 2014 17:18 — Editoval Vektor111 (05. 06. 2014 17:19)

Re: Bolzanova veta

#4 05. 06. 2014 17:22

Re: Bolzanova veta

#5 05. 06. 2014 17:24

Re: Bolzanova veta

#6 05. 06. 2014 17:26

Re: Bolzanova veta

#7 05. 06. 2014 17:27

Re: Bolzanova veta

#8 05. 06. 2014 17:27 Příspěvek uživatele Rumburak byl skryt uživatelem Rumburak. Důvod: duplicita

#9 05. 06. 2014 17:33

Re: Bolzanova veta

#10 05. 06. 2014 17:42

Re: Bolzanova veta

#11 05. 06. 2014 17:54 — Editoval Bati (05. 06. 2014 17:56)

Re: Bolzanova veta

#12 05. 06. 2014 18:16

Re: Bolzanova veta

#13 05. 06. 2014 18:22 — Editoval Bati (05. 06. 2014 18:22)

Re: Bolzanova veta

#14 05. 06. 2014 19:01

Re: Bolzanova veta

#15 05. 06. 2014 19:45 — Editoval Vektor111 (05. 06. 2014 19:53)

Re: Bolzanova veta

#16 05. 06. 2014 22:07

Re: Bolzanova veta

#17 06. 06. 2014 09:39 — Editoval Vektor111 (06. 06. 2014 09:40)

Re: Bolzanova veta

#18 06. 06. 2014 10:16 — Editoval Rumburak (06. 06. 2014 10:19)

Re: Bolzanova veta

#19 06. 06. 2014 10:17

Re: Bolzanova veta

#20 06. 06. 2014 10:43

Re: Bolzanova veta

#21 06. 06. 2014 10:47 — Editoval Vektor111 (06. 06. 2014 10:48)

Re: Bolzanova veta

#22 06. 06. 2014 10:50

Re: Bolzanova veta

#23 06. 06. 2014 10:52

Re: Bolzanova veta

#24 06. 06. 2014 10:55

Re: Bolzanova veta

#25 06. 06. 2014 10:56 — Editoval Vektor111 (06. 06. 2014 10:57)

Re: Bolzanova veta

Zápatí