Matematické Fórum

Bati · 06. 06. 2014 11:00

↑↑ Vektor111:
No, to by splňovaly ty body z toho intervalu...my teď mluvíme o jejich obrazech $f(c_n)$ . Podle definice M pro lib. bod $x\in M$ platí $f(x)\leq 0$ , tudíž pro $x\in [a,b]$ , který do M nepatří musí platit $f(x)>0$ , takže platí $f(c_n)>0$ pro všechny $n$ . Je to jasný?

Vektor111

aha no jasne .. takze ono $f(c_n)$ su vacsie ako nula a to je cely dokaz?

Bati · 06. 06. 2014 11:04

↑ Vektor111:
Teď zbývá udělat limitní přechod - to je nějaká ta věta o limitě a uspořádání, kterou byste měli znát. Jestliže $f(c_n)>0$ pro všechny n přirozené a $f(c_n)\to f(c)$ , pak $f(c)\geq0$ . Všimni si, že v limitním přechodu se mění $>$ na $\geq$ . Tím je dokázáno.

Vektor111 · 06. 06. 2014 11:15

tomuto celkom nerozumiem .. ako sa to znamienko tak zmenilo?

Bati · 06. 06. 2014 11:24

↑ Vektor111:
No to je z tý věty. Např. když mám posl. $\frac1n$ , tak všechny její členy splňujou $\frac1n>0$ , ale její limita je nula a neplatí $0>0$ , proto tam je $\geq$ . To je pouze příklad, důkaz té věty bys měl někde mít. Použil jsem to samozřejmě i v důkazu první části, považoval jsem to za známé.

Vektor111 · 06. 06. 2014 11:27

aha no jasne toto samozrejme poznam .. takze staci povedat ze

Ak $f(c_n)>0$ pre vsetky n a $f(c_n)\to f(c)$ , tak $f(c)\geq0$ a to je cely dokaz nie?

Bati · 06. 06. 2014 11:30

↑ Vektor111:
Jo.

Vektor111

Ok, tak ja to teraz skusim zosumarizovat, pretoze to mame trochu rozhadzane, takze:

Predpokladame: $f(a)<0<f(b)$ Definujeme si mnozinu: $M:=\lbrace x\in[a,b]:f(x)\leq0\rbrace$
Teraz vytvorime postupnost $c_n\in[a,b]$ ktora splnuje nasledujuce podmienky:
1) $c-\frac1n<c_n\leq c$
2) $c_n\in M$ ,

Kedze f je spojita a $c_n\to c$ , z toho vieme ze $f(c_n)\to f(c)$ . Dalej vieme ze $c_n\in M$ pre kazde n, je $f(c_n)\leq0$ pre vsetky n (z definicie M), a teda aj $f(c)\leq0$ .

Druha cast dokazu:

$M:=\lbrace x\in[a,b]:f(x)\leq0\rbrace$

1, $c<c\leqc_n <c+\frac1n$
2, $c_n$ nepatri do $M$

f je spojita takze $c_n\to c$ plati: $f(c_n)\to f(c)$ a z toho vieme ze $f(c)\geq0$

$f(c_n)>0$ pre vsetky n a $f(c_n)\to f(c)$ , tak $f(c)\geq0$

a to je koniec dokazu pretoze ak $f(c)\leq0$ a zaroven $f(c)\geq0$ tak musi platit rovnost.

Mam to cele spravne?

Bati · 06. 06. 2014 11:44 — Editoval Bati (06. 06. 2014 11:48)

Je to celkem ok, jen pár poznámek:
1) ve třetím řádku jsi asi myslel posloupnost, ne spojitost
2) je jedno jestli požadujeme $c_n\leq c$ nebo $c_n<c$ , podobně pro opačnou nerovnost.
3) M není třeba znovu definovat
4) ten poslední řádek je zdůvodněním předposledního, ok?
5) Aby to bylo úplně kompletní, je dobré napsat zdůvodnění, proč posloupnosti můžeme takto volit...to vede na ty spory s definicí suprema.
6) $c_n$ je v druhé části důkazu jiná posloupnost než v první, proto bych ji označil jiným písmenem. Naproti tomu c je v celém důkazu ten samý bod, což je důležité (našli jsme bod, pro který $f(c)\leq0$ i $f(c)\geq0$ ).

Vektor111

ach ano, myslel som postupnost, opravil som to. A ano ten posledny riadok je zdovodnenim toho predposledneho, prislo mi to vhod. Tak vdaka za objasnenie dokazu bolzanovej vety, davam plus do reputacie.

Bati · 06. 06. 2014 11:50

↑ Vektor111:
Ok, díky. Jak už jsem kdysi poznamenal, tento důkaz nedokazuje jen Bolzanovu větu, viz Darbouxova věta.

Matematické Fórum

#26 06. 06. 2014 11:00

Re: Bolzanova veta

#27 06. 06. 2014 11:01 — Editoval Vektor111 (06. 06. 2014 11:01)

Re: Bolzanova veta

#28 06. 06. 2014 11:04

Re: Bolzanova veta

#29 06. 06. 2014 11:15

Re: Bolzanova veta

#30 06. 06. 2014 11:24

Re: Bolzanova veta

#31 06. 06. 2014 11:27

Re: Bolzanova veta

#32 06. 06. 2014 11:30

Re: Bolzanova veta

#33 06. 06. 2014 11:38 — Editoval Vektor111 (06. 06. 2014 11:40)

Re: Bolzanova veta

#34 06. 06. 2014 11:44 — Editoval Bati (06. 06. 2014 11:48)

Re: Bolzanova veta

#35 06. 06. 2014 11:45 — Editoval Vektor111 (06. 06. 2014 11:46)

Re: Bolzanova veta

#36 06. 06. 2014 11:50

Re: Bolzanova veta

Zápatí