Matematické Fórum

Vektor111

Dobry den.
Mam za ulohu dokazat tvrdenie, ze kazdy polynom neparneho stupna ma aspon jeden realny koren. Nie som si isty ako na to ale myslim ze by sme mohli vyuzit bolzanovu vetu (ktorej dokaz mi pomohol zostrojit Bati v osobitnej teme), pretoze pre kazdy polynom neparneho stupna plati: $\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ a $\lim_{x\to \infty} f(x)=\infty$ aspon teda myslim. Dalej nejakym sposobom ukazat ze musi pretat x-ovu os ale ako na to, to uz mi nie je celkom jasne. Neviem ci je mozne toto tvrdenie dokazat aj inym sposobom ale ta bolzanova veta sa mi pozdava najviac, prosim o pomoc.

Jozef3 · 06. 06. 2014 12:10

↑ Vektor111:
Dobrý den.
Jste na správné cestě.
Akorát nevím, čemu říkáte Balzanova věta. Já bych použil Darbouxovu větu, která tvrdí, že spojitá funkce na intervalu nabývá všech mezihodnot a tím budete mít tvrzení dokázané.

Vektor111 · 06. 06. 2014 12:12

Bolzanovu vetu som na wikipedii nasiel v taktomto zneni: http://cs.wikipedia.org/wiki/Bolzanova_věta priznam sa ze Darbouxovu vetu az tak neovladam, mohli by ste ma nakopnut ako na ten dokaz ?

Bati · 06. 06. 2014 12:25

↑ Vektor111:
Stačí ti dokázat existence $a,b\in\mathbb{R}$ takových, že $f(a)<0<f(b)$ , což plyne z těch limit, co jsi napsal. Pak použiješ Bolzanovu větu.

Vektor111 · 06. 06. 2014 12:26

no nie som si isty ci tie limity platia vzdy lebo teraz ma napadlo ze napr. pre $-x^3$ to platit nebude.

Bati · 06. 06. 2014 12:31

↑ Vektor111:
No, tam samozřejmě je i druhá možnost, tj. $f(a)>0>f(b)$ . Důležité je, že znaménka těch nekonečen jsou různá.

Vektor111

aha, tak dobre ale ako najst jeden konkretny bod a, ktory bude zaporny a jeden konkretny bod b ktory bude kladny pre akykolvek neparny polynom? pre ktory samozrejme plati: $\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ a $\lim_{x\to \infty} f(x)=\infty$

a ako najst jeden konkretny bod a, ktory bude kladny a jeden konkretny bod b ktory bude zaporny pre akykolvek neparny polynom? pre ktory plati: $\lim_{x\to -\infty} f(x)=\infty$ a $\lim_{x\to \infty} f(x)=-\infty$

Jozef3 · 06. 06. 2014 12:37

↑ Vektor111:
Takové konkrétní body zřejmě nenajdete, ale z definice limity funkce víte, že na nějakém okolí nekonečen existují.

Vektor111 · 06. 06. 2014 12:38

ale tie limity su predsa v nevlastnych bodoch a bolzanova veta alebo tiez Darbouxova veta pracuje z konretnymi vlastnymi bodmi. Nie je to problem?

Bati · 06. 06. 2014 12:46 — Editoval Bati (06. 06. 2014 12:53)

↑ Vektor111:
No právě, proto hledáme ty body v $\mathbb{R}$ . Nejsnažší je to ukázat sporem. Můžeme předpokládat, že ten polynom je nekonstantní, takže ex. bod $a$ takový, že BUNO $f(a)<0$ . Pokud by neexistoval bod b takový, že $f(b)>0$ , pro všechny $x\in\mathbb{R}$ by platilo $f(x)\leq0$ , tj. ta funkce je shora omezená, což je spor s jednou z těch limit, co jsi napsal. Tedy existuje b tak, že $f(b)>0$ a můžeme použít Bolzanovu větu na intervalu $[a,b]$ , nebo $[b,a]$ , podle toho, který z bodů je větší.

Vektor111

aha takze z predpokladu sa dostaneme do sporu a potom uz mozeme bolzanovu vetu uplatnit na $[a,b]$ a to je v podstate cely dokaz lebo bolzanova veta plati.

Bati · 06. 06. 2014 12:55 — Editoval Bati (06. 06. 2014 12:56)

↑ Vektor111:
Ano, neexistence jednoho z těch bodů implikuje omezenost té funkce z některé strany, což je spor s nevlastními limitami.

Vektor111

no dobre, ale niekto by mohol povedat ze neveri ze kazdy polynom neparneho stupna ma taketo limity a tym by bol dokaz spochybneny - ako dokazat, ze skutocne tieto limyty platia? Bud jeden alebo druhy pripad.

Eratosthenes · 06. 06. 2014 13:02

ahoj ↑ Vektor111:,

podle základní věty algebry má každý polynom n-tého stupně s komplexními koeficienty právě n komplexních kořenů. Má-li tento polynom koeficienty reálné, musí být tyto kořeny po dvou komplexně sdružené (právě součin komplexně sdružených komplexních čísel dá ty reálné koeficienty). Je-li tedy polynom lichého stupně, má minimálně jeden kořen, který musí být komplexně sdružený sám se sebou, tudíž musí být reálný.

Jozef3 · 06. 06. 2014 13:03

To, co zde napsal kolega Bati je samozřejmě pravda, ale místo důkazu sporem můžete klidně použít i přímý důkaz a ušetřit tak asi jeden řádek papíru formátu A4 :-).

Ty limity platí právě proto, že předpokládáte, že ten polynom je lichého stupně a o hodnotě těch limit rozhoduje právě člen s nejvyšší mocninou (která je tedy lichá).

Bati · 06. 06. 2014 13:12

↑ Eratosthenes:
Nemyslím si, že základní věta algebry patří na stejnou úroveň jako Bolzanova věta apod...to je podle mě opravdu kanón na vrabce :-)

↑ Vektor111:
Jak napsal Jozef - ty limity plynou z toho, že to je polynom a že převažující mocnina má lichý stupeň - stačí si ten polynom napsat a udělat ty limity.

Vektor111 · 06. 06. 2014 13:13

Takze sa to da dokazat aj priamo zo zakladnej vety algebry. Cize ak som dobre pochopil,- polynom, ktory ma realne koeficienty ma komplexne zdruzene korene. Z toho vypliva ze musi mat minimalne jeden realny koren, pretoze sa navzajom vynasobia?

Bati · 06. 06. 2014 13:19

↑ Vektor111:
Ne, protože kořenů je lichý počet a ke každému existuje jeho komplexně sdružený...tj. tvoří páry. Takže aspoň jeden pár má shodné kořeny. Jediná čísla, která se rovnají svému komplexně sdruženému číslu jsou reálná čísla.

Ty znáš důkaz zákl. věty algebry?

Vektor111 · 06. 06. 2014 13:21

znam, je na ceskej wikipedii. takze zakl. veta algebry sa neda vyuzit pri dokazovani tohoto tvrdenia?

Bati · 06. 06. 2014 13:27

↑ Vektor111:
Jo, samozřejmě, že dá - jen je mnohem silnější, než to, co potřebuješ. Pokud ji použiješ, nepotřebuješ vůbec Bolzanovu větu.

Eratosthenes · 06. 06. 2014 13:28

ahoj ↑ Vektor111:,

každý polynom n-tého stupně má právě n kořenů a lze napsat ve tvaru
$\left (x-a_1-b_1i\right) \left (x-a_2-b_2i\right) ...\left (x-a_n-b_ni\right)$

(základní věta algebry)

Je-li polynom lichého stupně, má lichý počet kořenů. Má-li pouze reálné koeficienty, pak ke každému kořenu $a_k-b_ki$ musí existovat kořen $a_k+b_ki$ , protože jedině jejich roznásobením se dostane reálný koeficient:

$\left (a_k+b_ki\right) \left (a_k-b_ki\right)=a_k^2-b_k^2$

Pokud by byly všechny kořeny komplexní (tj. každé b_k by bylo různé od nuly), musel by být sudý počet kořenů, což je spor. Musí redy existovat alespoň jeden kořen, který má imaginární složku nulovou a je tedy reálný.

Vektor111

tak podme zostavit dokaz pomocou zakl. vety algebry, pointu myslim uz chapem, ako bude vyzerat? Alebo to vypliva priamo zo zakl. vety algebry a nie je treba nic dalej?

Jozef3 · 06. 06. 2014 13:30

↑ Vektor111:
Základní věta algebry se použít jako důkaz tohoto tvrzení samozřejmě dá, jak již bylo napsáno. Vřele však doporučuji to nedělat, neboť jak píše Bati, bylo by to jako chodit s kanonem na vrabce.
Ten důkaz uvedený na české Wikipedii je zřejmě nejčastěji uváděným důkazem zákl. věty algebry. Využívá však netriviální větu z komplexní analýzy, kdežto Vy můžete v tomto případě použít k důkazu Vašeho tvrzení dobře známou větu z reálné analýzy (Bolzanovu nebo Darbouxovu), tak to raději tak udělejte.

Eratosthenes · 06. 06. 2014 13:33

↑ Bati:

No, možná je to kanón na vrabce, ale něčím menším tady toho vrabce zatím nikdo nezastřelil. Základní věta algebry je všeobecně známa, alespoň my jsme ji na gymnáziu probírali. Bez ní totiž ani neodmocníš komplexní číslo, takže ani ten kanón nějak nevidím...

Eratosthenes · 06. 06. 2014 13:39

↑ Jozef3:

Jenže znát větu a umět ji dokázat jsou dvě různé věci. Třeba tečna kružnice se běžně používá už na základce, ale k tomu, co to vůbec je, je potřeba znalosti diferenciální geometrie, která se běžně neučí ani na VŠ...

Máme snad proto tečnu ke kružnici na základce zrušit?

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2014 11:51 — Editoval Vektor111 (06. 06. 2014 11:53)

polynom neparneho stupna

#2 06. 06. 2014 12:10

Re: polynom neparneho stupna

#3 06. 06. 2014 12:12

Re: polynom neparneho stupna

#4 06. 06. 2014 12:25

Re: polynom neparneho stupna

#5 06. 06. 2014 12:26

Re: polynom neparneho stupna

#6 06. 06. 2014 12:31

Re: polynom neparneho stupna

#7 06. 06. 2014 12:32 — Editoval Vektor111 (06. 06. 2014 12:33)

Re: polynom neparneho stupna

#8 06. 06. 2014 12:37

Re: polynom neparneho stupna

#9 06. 06. 2014 12:38

Re: polynom neparneho stupna

#10 06. 06. 2014 12:46 — Editoval Bati (06. 06. 2014 12:53)

Re: polynom neparneho stupna

#11 06. 06. 2014 12:48 — Editoval Vektor111 (06. 06. 2014 12:49)

Re: polynom neparneho stupna

#12 06. 06. 2014 12:55 — Editoval Bati (06. 06. 2014 12:56)

Re: polynom neparneho stupna

#13 06. 06. 2014 12:57 — Editoval Vektor111 (06. 06. 2014 12:57)

Re: polynom neparneho stupna

#14 06. 06. 2014 13:02

Re: polynom neparneho stupna

#15 06. 06. 2014 13:03

Re: polynom neparneho stupna

#16 06. 06. 2014 13:12

Re: polynom neparneho stupna

#17 06. 06. 2014 13:13

Re: polynom neparneho stupna

#18 06. 06. 2014 13:19

Re: polynom neparneho stupna

#19 06. 06. 2014 13:21

Re: polynom neparneho stupna

#20 06. 06. 2014 13:27

Re: polynom neparneho stupna

#21 06. 06. 2014 13:28

Re: polynom neparneho stupna

#22 06. 06. 2014 13:29 — Editoval Vektor111 (06. 06. 2014 13:29)

Re: polynom neparneho stupna

#23 06. 06. 2014 13:30

Re: polynom neparneho stupna

#24 06. 06. 2014 13:33

Re: polynom neparneho stupna

#25 06. 06. 2014 13:39

Re: polynom neparneho stupna

Zápatí