Matematické Fórum

↑↑ Eratosthenes:
Toho vrabce jsme už tady zastřelili daleko menší zbraní, kterou je Bolzanova věta.
A samotný název "základní věta algebry" je v tomto případě matoucí. Je to sice velmi silné tvrzení, ale přesto lidstvu trvalo několik století než se konečně podařilo nalézt její důkaz a ani ten není vůbec snadný. Využívá totiž Liovilleovu větu, k jejímuž důkazu zase potřebujete znát Cauchyovy odhady atd. Zato důkaz Bolzanovy věty je jednoduchý a velmi přímočarý.

mohli by sme sa vratit ku zostavovaniu dokazu ktory vypliva zo zakl. vety algebry? Aj ked pomocou Bolzanovej vety by som to vedel dokazat, tiez by som chcel vidiet tento dokaz.

↑ Bati:

>> A komplexní číslo klidně odmocním i bez ní:-)

Jo? A prosím tě jak?

>> Tečna ke kružnici je přímka, která má s kružnicí jeden společný bod

Jednak to není pravda, tečna má s kružnicí dva společné body, které náhodou splynuly, a pak - stačí tečna k půlkružnici a jsi s takovou definicí úplně v háji.

Obávám se, že věc nekomplikuju já. Nejsem to totiž já, kdo říká, že základní věta algebry je komplikovaná. To tady tvrdíte všichni proti mně. Já se jen snažím ukázat, že pokud je to komplikované, tak komplikovaná je i tečna ke kružnici.

↑ Eratosthenes:
Zásadně nesouhlasím s tvrzením, že komplikovanost důkazu je něco úplně jiného než komplikovanost věty.
Měl byste si uvědomit, že žádné matematické věty nevznikají z vakua a jsou odrazem vývoje matematiky a potřeb matematiků.
Jak jsem naznačil, základní věta algebry nebyla více než dvě století své existenci větou, ale vlastně jen hypotézou, protože byla tak těžká, že ji nikdo po tak dlouhou dobu neuměl dokázat. Naproti tomu Bolzanovu větu dokázal sám autor jejího znění a pravděpodobně mu to netrvalo vůbec dlouho.
Troufnu si obecně tvrdit, že pokud nějaký matematik vysloví hypotézu, ale neumí ji dokázat a dlouhá století se to ani nikomu nepovede, tak je ta věta opravdu těžká. Proto považuji za těžkou i Velkou Fermatovu větu a k důkazu různých tvrzení z elementární teorie čísel bych ji používal pouze v případě krajní nouze, když bych na žádný jednoduchý důkaz bez její pomoci nemohl přijít.

Eratosthenes napsal(a):

Jo? A prosím tě jak?

Takhle: http://cs.wikipedia.org/wiki/Binomick%C3%A1_rovnice

Eratosthenes napsal(a):

Nejsem to totiž já, kdo říká, že základní věta algebry je komplikovaná. To tady tvrdíte všichni proti mně. Já se jen snažím ukázat, že pokud je to komplikované, tak komplikovaná je i tečna ke kružnici.

Nikde jsem netvrdil, že ta věta je komplikovaná. Věřím dokonce, že existují její důkazy, které by šly označit jako elementární. Pouze jsem říkal, že ta věta je zbytečně silná, ale že samozřejmě lze použít i v takto jednoduchém případě.
Tvůj argument, že moje definice tečny ke kružnici neplatí, je docela směšný, protože 2 body, které spolu splývají = 1 bod. Nikde jsem neříkal, že ta definice funguje pro půkružnici.

↑ Rumburak:
Ano, pokud do toho začneme montovat komplexní čísla, je potřeba některá tvrzení upravit.

↑ Eratosthenes:
Pane kolego,
tvrzení, že daným bodem k dané přímce lze vést právě jednu rovnoběžku, neplatí, takže uvádíte špatný příklad. To, že Vámi popisovaný problém trvalo lidstu vyřešit více než dvě tisíciletí plyne z toho, že Eukleidés při psaní svých Základů velmi nešťastně formuloval pátý axiom geometrie, o kterém se nakonec ukázalo, že obecně neplatí.
V žádném případě to však neznamená, že bychom měli výuku o rovnoběžkách vyřazovat ze základoškolských osnov. Do nich nepatří výuka Eukleidův axiomů geometrie a z nich plynoucí deduktivní výstavba matematiky, která ovšem do osnov ani nikdy nepatřila, protože tady už se opravdu jedná o velmi složité záležitosti.
Také bych chtěl poukázat na to, že jste vyslovil evidentní nesmysl, když jste řekl, že bez základní věty algebry neodmocníte komplexní číslo. Základní věta algebry je totiž pouze existenční větou a rozhodně tedy neříká nic o tom, jak něco najít (tedy ani odmocninu z komplexního čísla). A i kdyby ano, jak si myslíte, že lidé odmocňovali komplexní čísla v 17. a 1. polovině 18. století, když ještě nebyla dokázána základní věta algebry, a tudíž ani nikdo nevěděl, jestli základní věta algebry vůbec platí?
Tím se právě dostávám i k důvodu, proč k řešení problému kolegy vektora111 použít Bolzanovu větu a nikoliv základní větu algebry. Důkaz pomocí Bolzanovy věty je elegantnější právě z toho důvodu, že se neodvalává na žádná tvrzení, která by měla složitý důkaz. Tudíž, kdyby kolega vektor111 napsal důkaz využívající zákl. větu algebry, nějaký velký šťoural by mu mohl vytknout, že tomu důkazu nevěří, protože ani nevěří tomu, že platí zákl. věta algebry a pak by měl kolega vektor111 velký problém přesvědčit toho šťourala, že zákl. věta algebry vůbec platí. Kdežto když napíše důkaz pomocí Bolzanovy věty, tak do toho nikdo šťourat nebude, protože je jednoduché se přesvědčit, že Bolzanova věta platí.

↑ Eratosthenes:
Kdyby to tvrzení bylo axiom, jak tvrdíte, tak by se nedokazovalo vůbec (tedy ani žádné dvě tisíciletí trvající úsilí by nebylo potřeba).
Uveďme si věci na pravou míru! Pokud je mi známo, tak ony dva tisíce let se řešila otázka, jestli pátý Eukleidův axiom plyne z těch prvních čtyř. Tedy šlo o to, jestli se ten axiom o rovnoběžkách může vynechat a geometrie zůstane nezměněna. Někdy na počátku 19. století se přišlo na to, že existují i neukleidovské geometrie (viz Riemann a Lobačevskij), kde rovnoběžka není jinou přímkou a bodem rozhodně jednoznačně určena.
Tím chci říci, že co je rovnoběžka v rovině, jaké má vlastnosti a jak ji zkonstruovat, můžeme bez problémů učit i děti na ZŠ, protože těmto věcem i děti dobře rozumí. Naopak učit děti na ZŠ větu, že v eukleidovské geometrii plyne pátý axiom z prvních čtyř by bylo nesmyslné, neboť takové tvrzení je těžké na pochopení a děti na ZŠ by z toho měly akorát zamotanou hlavu.

↑ Eratosthenes:

Zdravím.

Genialita Eukleida spočívá v tom, že objevil a zavedl axiomatický způsob budování matematiky, nicméně jeho
tehdejší axiomatická soustava pro geometrii, o níž se tu bavíme, později už nestačila novodobým zpřísněným
požadavkům na korektnost matematických definic a důkazů.  Proto zmíněnou Eukleidovu axiomatickou soustavu
geometrie v podstatě přepracoval David Hilbert (na přelomu 19. a 20. století) a s původní Eukleidovou se dnes už
nepracuje - leda snad rekreačně.

I matematika se vyvíjela a šla občas slepými uličkami - viz též příklady "paradoxů" (= sporů) v intuitivně budované
teorii množin  - asi nejznámějším z nich  je Russelův paradox.

↑ Eratosthenes:
Pane kolego,
nepište tu prosím nesmysly. Někoho by Vaše komentáře zde mohly zmást a zavést ho do slepé uličky.
Kdyby u axiomu o rovnoběžkách stačilo říci to, co jste řekl Vy, totiž "je to axiom, takže platí", tak by skutečně žádné dvoutisícileté snažení ohledně "důkazu tohoto axiomu" potřeba nebylo.
Jak jsem uvedl dříve, ty dva tisíce let trvalo rozhodnout lidem o problému, zda axiom o rovnoběžkách plyne z předchozích čtyř axiomů geometrie, které uvedl Eukleides ve svých Základech. Ukázalo se, že v neeukleidovských geometriích toto neplatí. Toto tvrzení opravdu jednoduché není a při hledání jeho důkazu byla bokem objevena spousta užitečných věcí, které se v matematice dodnes používají (viz právě neeukleidovské geometrie).
Co se týče Vašeho tvrzení o tom, že učivo o rovnoběžkách by mělo být vyřazeno ze školských osnov, s tím zásadně nesouhlasím a rozhodně tento Váš názor nepotvrzuji, jak tvrdíte. Stejně tak bych nikdy netvrdil ani to, že děti na školách by se neměly učit algebru, kapitolu o polynomech nebo komplexní čísla kvůli tomu, že základní věta algebry je těžká.

Dakujem Vam za pomoc, rozumiem obom dokazom aj dokazu pomocou bolzanovej vety od Batiho, aj dokazu pomocou zakladnej vety algebry. Ale predsa len mi vrta hlavou pri tom prvom dokaze kde mame istotu ze nevlastne limity v plus minus nekonecno su plus minus nekonecno pre kazdy polynom neparneho stupna s realnymi koeficientami ako bolo poopravene. Ako to dokazat?

Dakujem uz som spokojny :)