Matematické Fórum

ivana.i · 07. 06. 2014 11:24

Vedel by mi niekto pomôcť, naviesť na počítanie takého integrálu:
$\int x^3 + 5x^2+8x +3/ \sqrt{x^2 +4x +3}$

Bati · 07. 06. 2014 12:00

↑ ivana.i:
Ahoj,
všimni si, že kavdratický polynom pod odmocninou má 2 reálné kořeny, a tedy se rozkládá na $(x+3)(x+1)$ . Z toho plynou 2 věci:
1) V celém výpočtu budeme předpokládat, že $x\in\mathbb{R}\setminus[-1,-3]$ , aby $(x+3)(x+1)>0$ nebo, což je to samé, že $\frac{x+3}{x+1}>0$ .
2) Můžeme použít trik, který integrál převede na integrál z racionální funkce, který lze vždy spočítat přes parciální zlomky. Ten spočívá v tom, že $\sqrt{x^2+4x+3}=(x+1)\sqrt{\frac{x+3}{x+1}}$ . Následně stačí zavést substituci $t=\sqrt{\frac{x+3}{x+1}}$ , neboli $x=\frac2{t^2-1}-1$ a udělat ty parciální zlomky. Vyjdou jednoduše, ale je jich tam hodně, viz MAW .

ivana.i · 07. 06. 2014 12:38

↑ Bati:

Parciálne zlomky obsahujúce aj parameter t, alebo ako?

Bati · 07. 06. 2014 12:53

↑ ivana.i:
1) Uděláš substituci $x=\frac2{t^2-1}-1$ .
2) Rozložíš vzniklou racionální funkci v proměnné t na parciální zlomky.

Rumburak

↑ ivana.i:

To $t$ je nová integrační proměná, k níž se přejde podle věty o substituci.

PS.
Snad Ti je jasné, že

$\int (x^3 + 5x^2+8x +3/ \sqrt{x^2 +4x +3}) \d x = \int (x^3 + 5x^2+8x) \d x + 3 \int (1/ \sqrt{x^2 +4x +3}) \d x$ ,

takže jediným obtížnějším krokem úlohy je separátně spočítat inegrál $\int (1/ \sqrt{x^2 +4x +3}) d x$ , k čemuž Ti kolega ↑ Bati:
napověděl. Takže navržená substituce se vztahuje POUZE K TOMUTO INTEGRÁLU, zatímco integrál $\int (x^3 + 5x^2+8x) \d x$
se dá celkem triviálně spočítat přímo a zmíněná substituce by zde naopak silně uškodila.

Bati · 07. 06. 2014 13:11 — Editoval Bati (07. 06. 2014 13:18)

Ahoj ↑ Rumburak:,
osobně chápu $/$ jako znak pro dělení s nižší prioritou než $+$ a $-$ , ale mělo by se to specifikovat. Zadání jsem si tedy vyložil takto: $\frac{x^3+5x^2+8x+3}{\sqrt{x^2+4x+3}}$ , ale na postupu to skoro nic nemění i v opačném případě, jak jsi zdůvodnil.

Rumburak · 07. 06. 2014 13:49

↑ Bati:

Ahoj.

Můžeš mít v té interpretaci zápisu pravdu - čert ví, jak to tazatelka mínila.
Ale integrál z $\frac{x^3+5x^2+8x+3}{\sqrt{x^2+4x+3}}$ bych tedy počítat nechtěl ... :-)

ivana.i · 07. 06. 2014 14:18

↑ Rumburak:
je to tak ako si to vyložil Bati. Ospravedlňujem sa za nejasný zápis. Ďakujem za rady :)

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2014 11:24

Integrál

#2 07. 06. 2014 12:00

Re: Integrál

#3 07. 06. 2014 12:38

Re: Integrál

#4 07. 06. 2014 12:53

Re: Integrál

#5 07. 06. 2014 13:01 — Editoval Rumburak (07. 06. 2014 13:02)

Re: Integrál

#6 07. 06. 2014 13:11 — Editoval Bati (07. 06. 2014 13:18)

Re: Integrál

#7 07. 06. 2014 13:49

Re: Integrál

#8 07. 06. 2014 14:18

Re: Integrál

Zápatí