Matematické Fórum

Secren · 08. 06. 2014 13:07 — Editoval Secren (08. 06. 2014 13:08)

Zdravim,
mam tuto nerovnicu s parametrom $a\in R$
$\frac{x+a}{x}\le x+2$
Vyriesil som ju, ale vychadza to inac ako by malo.
Riesil som to rozdelenim na pripady x>0 a x<0 a potom som riesil dane kvadraticke nerovnice ktore vznikli po vynasobeni oboch stran x.
Vyslo mi:
pre $a=-\frac{1}{4}$ $K={-\frac{1}{2}\cup (0,\infty)}$
pre $a<-\frac{1}{4}$ $K=(0,\infty)$
pre $a>-\frac{1}{4}$ $K=\langle \frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2};0)\cup \langle \frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2};\infty)$
Spravny vysledok podla ucebnice + moje kompletne riesenie http://postimg.org/image/env3w7kb5/
Rad by som bol keby niekto nasiel co robim zle popripade usmernil.

vanok · 08. 06. 2014 14:01

Ahoj ↑ Secren:,
V takychto cviceniach je casto vyhodne dat vsetki cleny na tu istu stranu nerovnice.
Tato nerovnica ( z $x\in R$ )
$\frac{x+a}{x}\le x+2$ je ekvivalentna z
$0 \le x+2-\frac{x+a}{x}$ .
Teraz uprav vyraz na pravej strane a vysetri jeho znamienko.

Dobre pokracovanie.

Secren · 08. 06. 2014 14:17

↑ vanok:
No to som sa dostal tam kde predtym, tj. zas 2 pripady podla x>0 a x<0 (2 tie iste nerovnice).

vanok · 08. 06. 2014 15:31 — Editoval vanok (08. 06. 2014 15:32)

$a=-\frac{1}{4}$ Ano, ale teraz ide o to ze treba dobre z organizovat tvoju pracu.
Prva etapa moze byt
Znamienko vyrazu: $x^2-x-a$
To da podla hodnot a tri mozne situacie,
To da kladne znamienko toho trojclenu:
Ak $a=-\frac{1}{4}$ ,na tejto mnozine $R$ trojclen je kladny alebo nulovy.
Ak $a>-\frac{1}{4}$ ,ta ista mnozina $R$
A ak
$a>-\frac{1}{4}$ trojclen sa da napisat v tejto forme,
$(x-\frac{-1-\sqrt{1+4a}}2)(x- \frac{-1+\sqrt{1+4a}}2)$ . Cize je kladny na mnozine
$]-\infty,-\frac{-1-\sqrt{1+4a}}2]\bigcup [x- \frac{-1+\sqrt{1+4a}}2), +\infty [$
Na doplnkovych mnozinach trojclen je ostro negativny.

Teraz ti ostava nast kladne znamieno celeho vyrazu ...
V kazdom moznom pripade pre x,( oznacime hladane riesenie K).
Ak x>o, cize pre $x\in ]0, +\infty [$ dostanes
Ak $a=-\frac{1}{4}$ potom $K=]0, +\infty [$
pokracuj....

Poznamka: je tiez mozne pozit tabulku znamienok celeho vyrazu ( to je rychlejsie ale neviem to napisat v Latex)