Matematické Fórum

lemko · 10. 06. 2014 09:43

Dobry den :)

Nechť V jelineární prostor a $\dim V = 3$ . Mějme uspořádanou bázi $X = (u,v,w)$ a vektor a, jehož souřadnice vůči X jsou $(a)_X = (1,2,3)$ . Nalezněte $(a)_Y$ , kde $Y = (v,u,w)$ . Ověřte, že množina $Z = (u,u + v,u + 2w)$ tvoří uspořádanou bázi V a najděte $(a)_Z$ .

I have found this exercise because I am working for an exam. Is it possible to know what I am supposed to do here?
Diky!

vanok · 10. 06. 2014 12:11 — Editoval vanok (10. 06. 2014 12:12)

Salut,
Dans la base X, on a $(a)_X = (1,2,3)=1u+2v+3w$ .
Ton problem est réécrire a comme une combinaison linéaire de vecteurs de la base Z.
Pour cela tu peux résoudre
$1u+2v+3z=a_1u+a_2(u+v)+a_3(u+2w)$ .( c'est simple!)
Les $a_1,a_2,a_3$ trouvés sont leq coef. de vecteur a dans la base Z.

kaitlyn · 10. 06. 2014 12:18

Ahoj, ↑ lemko: :)

Připomínám definici souřadnice vektoru $a$ v bázi $X = (u, v, w)$ : $a = \lambda_{1}u + \lambda_{2}v + \lambda_{3}w$ . Pochopíš-li tuto definici, bude ti hned jasné, jak získat souřadnice vektoru $a$ v bázi $Y$ :)
Co se týče báze $Z$ : $a = \lambda_1u + \lambda_2 \cdot (u+v) + \lambda \cdot (u+2w)$ .

PS: Doufám, že se nemýlím...

kaitlyn · 10. 06. 2014 12:23

Ahoj ↑ vanok:!

Promiň, když jsem odpovídala, tak se tvůj příspěvek ještě neobjevil...

vanok · 10. 06. 2014 12:27

Ahoj ↑ kaitlyn:,
Mala poznamka, v dvoch bazach X, Y vektor a, nema tie iste suradnice Napr.
$a = \lambda_{1}u + \lambda_{2}v + \lambda_{3}w$
A tiez
$a = \mu_1u + \mu_2 \cdot (u+v) + \mu \cdot (u+2w)$ ...
( naviac text cvicenia dava explicitne $\lambda_i$ .

kaitlyn · 10. 06. 2014 12:35

↑ vanok:,

báze X se od Y liší jen pořadím vektoru u, v a w. Tím, že jsou $\lambda_i$ explicitní, pak je i jasné, jaké jsou souřadnice vektoru v bázi Y, nebo se mýlím?

vanok · 10. 06. 2014 12:39 — Editoval vanok (10. 06. 2014 12:39)

↑ kaitlyn:
Ano, ale nemozes ich oznacit tym istym symbolom, vsak v kazdej baze su ine.
Treba najst relaciu, medzi koef. podla baz, ako som to pisal uz tu
↑ vanok:.

kaitlyn · 10. 06. 2014 12:42

↑ vanok:,

jasně ;)

lemko · 10. 06. 2014 16:51 — Editoval lemko (10. 06. 2014 16:53)

vanok napsal(a):
Salut,
Dans la base X, on a $(a)_X = (1,2,3)=1u+2v+3w$ .
Ton problem est réécrire a comme une combinaison linéaire de vecteurs de la base Z.
Pour cela tu peux résoudre
$1u+2v+3z=a_1u+a_2(u+v)+a_3(u+2w)$ .( c'est simple!)
Les $a_1,a_2,a_3$ trouvés sont leq coef. de vecteur a dans la base Z.

Merci beaucoup.

So I should solve this system:

$1u+2v+3z=a_1u+a_2(u+v)+a_3(u+2w)=a_1u+a_2u+a_2v+a_3u+2a3w$

secondly:

$1=a_1+a_2+a_3$
$2+a_2$
$3=2a_3$

And finally:

$a_2=2$
$a_3=3/2$
$a_1=-5/2$

is this correct?