Matematické Fórum

Piskotik · 09. 06. 2014 12:21

Ahoj všichni, snazím se počítat úplně základní příklady na integrály a nějak mi to pořád nejde ... některé věci nechápu.

Tak např.
$\int_{}^{}\frac{1}{x^{2} + 3} dx = \frac{1}{3} \int_{}^{} \frac{1}{\frac{x^{2}}{3}+1} dx = \frac{1}{3} \int_{}^{} \frac{1}{(\frac{x}{3})^{2} + 1} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} arctg \frac{x}{\sqrt{3}} + C$
... nerozumím tomu, proč se z $\frac{1}{3}$ stane $\frac{1}{\sqrt{3}}$

nebo podobný příklad
$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} dx = \int_{}^{} \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} dx = \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{1}{1-(\frac{x}{4})^{2}} dx = arcsin \frac{x}{2} + C$
... kam zmizela ta $\frac{1}{2}$ ve výsledku?

taky nevím, kam se z tohoto příkladu poděl ten horní polynom
$\int_{}^{} \frac{3x^{2}+1}{x^{3} + x + 2 } dx = ln |{x^{3} + x + 2 }| + C$

a proč se tady před integrál vytýká $\frac{1}{2}$ ?
$\int_{}^{} \frac{x}{1+x^{2}} dx = \frac{1}{2} ln |x^{2}+ 1| + C$

Vím, že je to více příkladů, ale nechci to rozhazovat do více kategorii.
Byl by někdo tak hodný a vysvětlil mi tyto základní věci? Moc moc děkuji.

Rumburak

↑ Piskotik:

Ahoj.

Prostuduj si VĚTU o SUBSTUCI . Spočtu podrobně tu poslední úlohu:

Na integrál $\int \frac{x}{1+x^{2}} \d x$ použijeme substituci $1+x^{2} = y$ - zderivováním této rovnosti
podle $x$ získáme $2x = \frac {\d y}{\d x}$ , tedy $2x \d x = \d y$ , takže

$\int \frac{x}{1+x^{2}} \d x = \frac{1}{2} \int \frac{ 2x \d x}{1+x^{2}} = \frac{1}{2} \int \frac{\d y}{y} = \frac{1}{2} \ln |y| + C = \frac {1}{2} \ln |1+x^{2}| + C$ .

Absolutní hodnotu zde můžeme nahradit závorkou, protože výraz uvnitř je kladný.

Analogicky by se počítal ten třetí integrál.

Tak jako zde jsme využili znalost o derivaci funkce $y \mapsto \ln y$ , v první a druhé úloze se využije
znalost o derivaci funkce $y \mapsto \arctan y$ resp. $y \mapsto \arcsin y$ .

Mimochodem: Jestliže $a > 0$ , potom $\frac{x^2}{a} = $\frac{x}{\sqrt{a}}$^2$ . Chybu v této úpravě tam máš na dvou místech.

Xellos · 09. 06. 2014 13:00 — Editoval Xellos (09. 06. 2014 13:02)

V prvej serii rovnic mas chybu, lebo $\frac{x^2}{3}$ neni $\left(\frac{x}{3}\right)^2$ , ale $\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2$ . Tiez si mozes napisat $\mathrm{d}x$ ako $\sqrt{3}~\mathrm{d}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$ a integrovat podla premennej $\frac{x}{\sqrt{3}}$ , nie $x$ . Podobne druhy priklad.

Piskotik · 10. 06. 2014 14:17

↑ Rumburak:
↑ Xellos:
Moc díky, už to z většiny chápu ;)

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2014 12:21

Základy integrace

#2 09. 06. 2014 12:55 — Editoval Rumburak (09. 06. 2014 12:59)

Re: Základy integrace

#3 09. 06. 2014 13:00 — Editoval Xellos (09. 06. 2014 13:02)

Re: Základy integrace

#4 10. 06. 2014 14:17

Re: Základy integrace

Zápatí